En este post te explicamos qué son las ecuaciones exponenciales y cómo se resuelven todos los tipos de ecuaciones exponenciales. Además, encontrarás 15 ejercicios resueltos paso a paso de ecuaciones exponenciales para que puedas practicar y entender bien el concepto.
Índice
¿Qué son las ecuaciones exponenciales?
Las ecuaciones exponenciales son aquellas ecuaciones que tienen la incógnita en el exponente de alguna potencia. Para resolver las ecuaciones exponenciales se utilizan las propiedades de las potencias, los logaritmos y los cambios de variables.
Para poder hacer una ecuación exponencial es imprescindible que domines las propiedades de la potenciación, así que antes de ver la explicación de cómo se resuelven este tipo de ecuaciones te recomiendo que hagas un ⬇⬇repaso de las propiedades de las potencias.⬇⬇
- Producto de potencias con la misma base:
- División de potencias con la misma base:
- Potencia de una potencia:
- Relación entre una raíz y una potencia:
- Potencia con exponente negativo:
- Inverso de una fracción:
- Potencia de exponente cero:
- Potencia de exponente 1:
- Igualdad de exponentes:
Cómo resolver ecuaciones exponenciales
El procedimiento para resolver una ecuación exponencial depende de cómo sea esta:
- Si en los dos miembros de la ecuación exponencial hay una única potencia con la misma base, se deben igualar sus exponentes.
- Si en la ecuación exponencial hay una sola potencia, se deben aplicar logaritmos con la misma base que la potencia en ambos miembros de la ecuación.
- Si en cada miembro de la ecuación exponencial hay una potencia y tienen diferente base, se deben aplicar logaritmos con cualquier base en ambos miembros de la ecuación.
- Si no se cumple ninguna de las condiciones anteriores, se debe hacer un cambio de variable.
Para que puedas ver exactamente cómo se hacen los 4 tipos de ecuaciones exponenciales, hemos resuelto paso a paso un ejemplo de cada tipo a continuación. Asimismo, encontrarás 15 ecuaciones exponenciales resueltas en el último apartado.
Ecuación exponencial con una potencia de la misma base en cada miembro
Cuando en los dos lados de la ecuación exponencial hay una sola potencia y ambas tienen la misma base, se igualan sus exponentes para resolver la ecuación.
Por ejemplo, la siguiente ecuación exponencial tiene una única potencia en cada uno de sus lados, y ambas potencias tienen el mismo número como base (5):
Como en los dos miembros tenemos una potencia con la misma base, los dos exponentes tienen que ser iguales. Por lo tanto, podemos igualar sus exponentes:
Y ahora simplemente tenemos que resolver la ecuación de primer grado resultante:
De esta forma tan sencilla hemos podido hallar el valor de la incógnita x. Este método de resolución de ecuaciones exponenciales seguramente es el más fácil. Sin embargo, los tres siguientes métodos son un poco más complicados.
Ecuación exponencial con una sola potencia
Cuando en la ecuación exponencial hay una sola potencia, se deben aplicar logaritmos en ambos miembros de la ecuación. Y los logaritmos deben tener la misma base que la potencia.
Resolvamos un ejemplo para ver cómo se calculan este tipo de ecuaciones exponenciales:
En este ejercicio tenemos una sola potencia, por lo tanto, tenemos que aplicar logaritmos en ambos miembros de la ecuación. Pero no podemos poner cualquier logaritmo, sino que deben tener la misma base que la potencia de la ecuación, que en este caso es 3.
Ahora utilizamos la propiedad del logaritmo de una potencia en el primer miembro de la ecuación exponencial:
El logaritmo de la base da como resultado 1, por lo que
De modo que solo nos queda despejar la incógnita de la ecuación:
Finalmente, calculamos el logaritmo utilizando la calculadora para expresar numéricamente la solución de la ecuación exponencial:
Ecuación exponencial con dos potencias de diferente base
Cuando en cada miembro de la ecuación exponencial hay una sola potencia y las dos potencias tienen diferente base, se deben aplicar logaritmos (con cualquier base) en ambos miembros de la ecuación.
Para que veas cómo se solucionan estas ecuaciones exponenciales vamos a hacer un ejemplo a continuación:
En este caso tenemos una potencia en cada lado de la ecuación exponencial, pero una tiene como base 6 y la otra 5. En consecuencia, aplicamos logaritmos en base 10 en ambos lados de la ecuación:
Ahora podemos emplear la propiedad del logaritmo de una potencia en cada lado:
Aplicamos la propiedad distributiva para quitar los paréntesis de la ecuación exponencial:
Como en una ecuación simple, ponemos los términos con x en un miembro de la ecuación y los términos sin x en el otro miembro:
Sacamos factor común en el lado izquierdo:
El factor está multiplicando a todo el lado izquierdo de la ecuación, así que lo podemos pasar dividiendo al otro lado de la ecuación:
Y, por último, utilizamos la calculadora para hallar el valor de x:
Este método de resolución de ecuaciones exponenciales es un poco más complicado, ya que también se deben dominar las propiedades logarítmicas. Lo bueno es que este tipo de ecuaciones exponenciales son menos habituales. Si te ha quedado alguna duda de cómo se hacen puedes preguntárnosla en los comentarios.
Ecuación exponencial con cambio de variable
Cuando en la ecuación exponencial no se puede hacer ninguna de las operaciones que hemos visto en los apartados anteriores, significa que se debe hacer un cambio de variable con las potencias que tienen la incógnita x en los exponentes.
Este procedimiento es un poco complicado, así que vamos a solucionar paso a paso una ecuación exponencial de este tipo a modo de ejemplo:
En este ejercicio no podemos aplicar ninguno de los 3 procedimientos que hemos visto en los apartados anteriores, porque el primer miembro de la ecuación exponencial tiene más de un término. Por lo tanto, deberemos aplicar un cambio de variable.
Pero antes tenemos que transformar la ecuación exponencial para que en los exponentes solo haya una x. Así que utilizamos las propiedades de las potencias para simplificarlas:
Y, ahora sí, hacemos el cambio de variable t=2x. Normalmente, el cambio de variable corresponde a la potencia que tiene la x como exponente, en este caso 2x.
Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante con la fórmula general:
Una vez hemos hallado los valores de t, deshacemos el cambio de variable para determinar los valores de x:
- Si t=4:
- Si t=-2:
El resultado de una potencia siempre es positivo. Por lo que t=-2 no es una solución válida, ya que 2x nunca podrá dar como resultado -2.
Por lo tanto, la única solución de la ecuación exponencial es x=2.
Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales
Una vez hemos visto toda la teoría de las ecuaciones exponenciales, te dejamos con 15 ejercicios resueltos paso a paso de ecuaciones exponenciales. Están ordenadas por dificultad pero, en general, encontrarás ecuaciones exponenciales resueltas tanto de nivel de ESO como de Bachillerato.
👇👇👇¡Si tienes alguna duda sobre la resolución de algún ejercicio o quieres que te resolvamos alguna ecuación exponencial, no dudes en escribirla en los comentarios!👇👇👇
Ejercicio 1
Resuelve la siguiente ecuación exponencial:
Efectivamente, se trata de una ecuación exponencial porque la incógnita está en el exponente de dos potencias. En este caso consiste en una ecuación exponencial como las del primer ejemplo.
Como en los dos miembros de la ecuación exponencial tenemos una potencia con la misma base, los dos exponentes deben ser equivalentes. Por lo tanto, podemos igualar sus expresiones:
Y ahora solamente nos queda solucionar la ecuación de primer grado resultante:
Ejercicio 2
Calcula la siguiente ecuación exponencial:
La ecuación exponencial de este problema no tiene la misma potencia en ambos lados. Sin embargo, podemos lograrlo haciendo la descomposición factorial de 27:
De este forma ambos miembros tienen como base el número 3 y, en consecuencia, podemos igualar sus exponentes:
Por último, resolvemos la ecuación lineal resultante:
Ejercicio 3
Soluciona la siguiente ecuación exponencial:
Igual que en el ejercicio anterior, esta ecuación corresponde al primer tipo de ecuaciones exponenciales. Ya que podemos conseguir que los dos lados de la ecuación tengan una potencia con la misma base.
Para ello primero hacemos la descomposición factorial de 125:
Entonces, para que se cumpla la igualdad, los dos exponentes tienen que ser iguales:
Y, finalmente, resolvemos la ecuación resultante:
Ejercicio 4
Determina la solución de la siguiente ecuación exponencial:
Si nos fijamos bien, esta ecuación exponencial también es del primer tipo, ya que podemos convertir el 49 en una potencia de 7:
Y aplicando la propiedad del producto de dos potencias con la misma base podemos simplificar el primer miembro:
Por otro lado, el término independiente 7 del lado derecho es como si estuviera elevado a la 1:
Entonces, igualamos los exponentes de los dos miembros:
Y hallamos el valor de x:
Ejercicio 5
Resuelve la siguiente ecuación exponencial con una potencia:
En este problema tenemos una sola potencia en un único lado de la ecuación. Por tanto, debemos aplicar logaritmos en los dos lados de la ecuación, y su base logarítmica debe ser igual a la base de la potencia, esto es, 7:
Ahora utilizamos la propiedad del logaritmo de una potencia:
El logaritmo de la propia base da como resultado la unidad, por tanto:
Calculamos mediante la calculadora:
Y resolvemos la ecuación:
Ejercicio 6
Calcula la siguiente ecuación exponencial:
La ecuación exponencial de este problema tiene una única potencia. De modo que debemos aplicar logaritmos en los dos lados de la ecuación, y la base logarítmica debe ser igual a la base de la potencia, es decir, 6:
Usamos la propiedad del logaritmo de una potencia para quitar el exponente:
El logaritmo de la propia base da como resultado 1:
Calculamos con la calculadora:
Y hallamos el valor de la variable x:
Ejercicio 7
Resuelve la siguiente ecuación exponencial con dos potencias de diferente base:
En este ejercicio tenemos una potencia con distinta base en cada miembro de la ecuación exponencial. Por tanto, debemos tomar logaritmos en base 10 en ambos miembros de la ecuación:
Ahora aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia en cada miembro de la ecuación:
Usamos la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis de la ecuación exponencial:
Como si se fuera una ecuación de primer grado normal, ponemos los elementos con x en un miembro de la ecuación y los elementos sin x en el otro miembro:
Extraemos factor común en el lado izquierdo:
El factor está multiplicando a todo el miembro izquierdo de la ecuación, así que lo podemos pasar dividiendo al otro miembro:
Y, finalmente, resolvemos la ecuación exponencial con la calculadora:
Ejercicio 8
Resuelve la siguiente ecuación exponencial con una x elevada al cuadrado:
En este caso tenemos una potencia en cada miembro de la ecuación exponencial con distinta base. Por tanto, debemos efectuar logaritmos en base 10 en ambos miembros de la ecuación:
Empleamos la propiedad del logaritmo de una potencia en ambos lados de la ecuación exponencial:
Pasamos todos los términos al primer miembro:
Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta sacando factor común:
En definitiva, las dos soluciones de la ecuación exponencial son:
Ejercicio 9
Resuelve la siguiente ecuación exponencial con fracciones:
Aunque la potencia de la ecuación esté en el denominador de una fracción, se trata de una ecuación exponencial porque la incógnita aparece en el exponente de un término.
Así pues, para tener la potencia en el numerador, aplicamos la propiedad de las potencias con exponente negativo:
Esta ecuación corresponde al segundo tipo de ecuaciones exponenciales debido a que tenemos una única potencia. Así que aplicamos logaritmos en base 5 en los dos lados de la ecuación:
Usamos la propiedad del logaritmo de una potencia:
Por definición, el logaritmo de la base da como resultado 1:
Calculamos con la calculadora:
Y, para terminar, despejamos la incógnita de la ecuación:
Ejercicio 10
Calcula la siguiente ecuación exponencial:
De los cuatro tipos de ecuaciones exponencial, esta pertenece al último caso y por tanto tenemos que hacer un cambio de variable para solucionarla.
Pero primero utilizaremos las propiedades de las potencias para transformar la ecuación exponencial:
En segundo lugar, aplicamos el cambio de variable t=3x:
Resolvemos la ecuación cuadrática obtenida con la fórmula general:
Ahora deshacemos el cambio de variable:
Si t=3:
Si t=-8/3:
El resultado de una potencia siempre es positivo. Por lo tanto no es una solución válida de la ecuación exponencial.
Por lo que la única solución de la ecuación exponencial es x=1.
Ejercicio 11
Halla el valor de x que cumple con la siguiente ecuación exponencial:
La ecuación exponencial de este problema pertenece a las del último tipo, o dicho con otras palabras, tenemos que emplear un cambio de variable.
Pero para poder hacer el cambio de variable primero debemos simplificar la ecuación exponencial, así que aplicamos las propiedades de las potencias:
Ahora sí, aplicamos el cambio de variable. Ten en cuenta que el cambio de variable debe ser de la base de la potencia elevada a la x:
Cambio de variable:
Eliminamos la fracción de la ecuación exponencial multiplicando todos los términos por 4:
Calculamos la ecuación de segundo grado aplicando su correspondiente fórmula:
Hemos obtenido como soluciones de la ecuación de segundo grado t=16 y t=-12. Ahora deshacemos el cambio de variable para hallar los valores de x:
Si t=16:
Si t=-12:
El resultado de una potencia siempre es positivo, lo que significa que t=-12 no puede ser una solución de la ecuación exponencial.
En conclusión, la ecuación exponencial solamente tiene una solución, que es x=2:
Ejercicio 12
Soluciona la siguiente ecuación exponencial con diferentes potencias:
Los números 4 y 8 son respectivamente el cuadrado y el cubo de 2. De manera que podemos operar con la ecuación exponencial para que todas las potencias tengan la misma base:
Luego aplicamos la propiedad de la multiplicación de dos potencias con la misma base:
Así pues, los exponentes de ambas potencias deben ser iguales, por tanto:
Finalmente, calculamos el valor de la incógnita x:
Ejercicio 13
Calcula la siguiente ecuación exponencial:
Esta ecuación exponencial corresponde al cuarto tipo de ecuaciones exponenciales. Ya que es una ecuación más complicada en la cual debemos hacer un cambio de variable para solucionarla. Pero para ello primero debemos simplificar la ecuación utilizando las propiedades de la potenciación:
Entonces, hacemos el cambio de variable t=4x para resolver la ecuación con exponentes:
Multiplicamos todos los términos de la ecuación por 4 para quitar los coeficientes fraccionarios:
Trasponemos todos los términos al primer miembro y agrupamos los que son semejantes:
Resolvemos la ecuación de segundo grado con la fórmula general:
Y, finalmente, deshacemos el cambio de variable para hallar las soluciones de la ecuación exponencial:
Si t=4:
Si t= :
El resultado de una potencia siempre es positivo. Por tanto este valor nunca será solución de la ecuación exponencial.
Por lo tanto, la ecuación exponencial únicamente tiene como solución x=1.
Ejercicio 14
Resuelve la siguiente ecuación exponencial con coeficientes racionales:
Aunque puede parecer complicado a simple vista, la expresión algebraica de cada lado se puede transformar en una potencia. Para ello, primero multiplicamos las dos fracciones en cruz:
En segundo lugar, aplicamos las propiedades de las potencias:
De forma que tenemos una potencia con distinta base en cada miembro de la ecuación exponencial, así que aplicamos logaritmos en ambos miembros:
Usamos la propiedad logarítmica de una potencia en los dos miembros de la ecuación:
Ponemos todos los logaritmos con x en el lado izquierdo de la ecuación y los otros logaritmos en el lado derecho:
Extraemos el factor común x:
Despejamos la incógnita y calculamos su valor numérico con la calculadora:
Ejercicio 15
Resuelve la siguiente ecuación exponencial con raíces:
Se trata de una ecuación exponencial con coeficientes irracionales ya que el primer miembro está formado por una raíz. Sin embargo, podemos transformar una raíz en una potencia gracias a las propiedades de la potenciación:
Ahora convertimos el 216 en una potencia de base 6:
Igualamos exponentes:
Y resolvemos la ecuación fraccionaria (o ecuación racional) resultante:
Excelente explicacion.
¡Muchísimas gracias Nelson!
Muchisimas gracias, excelente explicacion
¡Gracias a ti por el comentario Nelly!
Excelente la explicación
¡Muchas gracias Jhon!
Hola, excelente explicación para tan bien tan buen tema, lo hace ver muy fácil todo.
¡Muchas gracias Jilmer!