▷ Sistema de ecuaciones logarítmicas

En esta página encontrarás qué son los sistemas de ecuaciones logarítmicas. Además, te explicamos cómo se resuelven los sistemas de ecuaciones logarítmicas haciendo un ejemplo paso a paso. Y, finalmente, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de sistemas de ecuaciones logarítmicas.

Índice

¿Qué es un sistema de ecuaciones logarítmicas?

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema de dos o más ecuaciones en el que alguna incógnita aparece en el argumento de un logaritmo. Por lo tanto, para resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas se deben aplicar las propiedades de los logaritmos.

Para poder solucionar sistemas de ecuaciones logarítmicas es imprescindible que primero sepas cómo resolver ecuaciones logarítmicas. Por lo que si no recuerdas muy bien cómo se hace, te recomiendo que antes de seguir le eches un vistazo a este enlace donde se explica paso a paso y podrás ver varios ejercicios resueltos de ecuaciones logarítmicas. Además, también encontrarás las propiedades de los logaritmos que se utilizan para resolver este tipo de ecuaciones.

Cómo resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas

En general, un sistema de ecuaciones logarítmicas se puede resolver de 2 maneras diferentes:

Aplicar el método de reducción para eliminar un logaritmo del sistema, y así simplemente tener que resolver una ecuación logarítmica.
Aplicar las propiedades de los logaritmos hasta conseguir quitar los logaritmos del sistema de ecuaciones.

Entonces, para poder resolver sistemas de ecuaciones con logaritmos debes saber qué es el método de reducción.

Normalmente, el primer método es más fácil de hacer, pero únicamente se puede utilizar si los argumentos de los logaritmos con la misma incógnita son equivalentes. Es decir, si tenemos un sistema de ecuaciones con logaritmos de este tipo:

$\left.\begin{array}{l} 2\log(x)+ \log(y)= 10 \\[2ex] \log(x)-5\log(y)= 0 \end{array} \right\}$

Y cuando no podemos emplear este método entonces debemos recurrir a las propiedades de los logaritmos. Quizás ahora te resulte un poco difícil de entender todo esto, así que para que puedas ver exactamente cómo se hacen los sistemas de ecuaciones logarítmicas hemos resuelto un ejemplo paso a paso en el siguiente apartado.

Ejemplo de un sistema de ecuaciones logarítmicas

Vista la teoría de los sistemas de ecuaciones logarítmicas, vamos a explicar la resolución de un ejemplo paso a paso para que puedas ver cómo se calculan este tipo de sistemas de ecuaciones:

$\left.\begin{array}{l} 4\log(x)+ \log(y)= 4 \\[2ex] -3\log(x)-2\log(y)= -3 \end{array} \right\}$

En este caso, los logaritmos que tienen la incógnita x son iguales entre sí y los logaritmos que tienen la incógnita y también son iguales entre sí, por lo que podemos aplicar el método de reducción. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por dos:

$\left.\begin{array}{l} 4\log(x)+ \log(y)= 4 \\[2ex] -3\log(x)-2\log(y)= -3\end{array} \right\} \begin{array}{c}\xrightarrow{\times 2} \\[2ex] & \end{array}\left.\begin{array}{l} 8\log(x)+ 2\log(y)= 8 \\[2ex] -3\log(x)-2\log(y)= -3\end{array} \right\}$

Y luego sumamos las dos ecuaciones del sistema:

$\begin{array}{crrcr} &8\log(x)&+2\log(y)&=&8\\[1.1ex] +&-3\log(x)&-2\log(y)&=&-3 \\ \hline &5\log(x)&&=&5\end{array} \right\}$

Ahora simplemente debemos resolver la ecuación logarítmica resultante:

$5\log(x) = 5$

Así que despejamos el logaritmo:

$\log(x) = \cfrac{5}{5}$

$\log(x) =1$

Y hallamos el valor de la incógnita x aplicando la definición matemática de logaritmo:

$x = 10^1$

$x =10$

Una vez hemos hallado el valor de una incógnita, sustituimos dicho valor en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema original:

$4\log(x)+ \log(y)= 4 \quad \xrightarrow{x \ = \ 10} \quad 4\log(10)+ \log(y)= 4$

Y resolvemos la ecuación logarítmica con una sola incógnita resultante:

$4\cdot 1 + \log(y)= 4$

$4 + \log(y)= 4$

$\log(y)= 4-4$

$\log(y)=0$

$y= 10^0$

$y =1$

En conclusión, la solución del sistema de ecuaciones logarítmicas es:

$\bm{x=10 \qquad y =1}$

Como puedes comprobar, con este método resulta relativamente sencillo hacer sistemas con ecuaciones logarítmicas, sin embargo, aún se puede complicar bastante más. Por eso te recomiendo que practiques con los ejercicios resueltos de ecuaciones logarítmicas que hay al final de esta página.

Por otro lado, debes saber que este tipo de sistemas de ecuaciones logarítmicas también se pueden calcular haciendo un cambio de variable. A continuación, te dejamos resuelto el mismo sistema con este procedimiento por si te interesa. Si tienes alguna duda, puedes preguntarla en los comentarios que la resolveremos.

$\left.\begin{array}{l} 4\log(x)+ \log(y)= 4 \\[2ex] -3\log(x)-2\log(y)= -3 \end{array} \right\}$

Primero hacemos un cambio de variable para el logaritmo de x, y otro cambio de variable para el logaritmo de y:

$a=log(x) \qquad b=log(y)$

Luego, solucionamos el sistema de ecuaciones con las variables cambiadas:

$\left.\begin{array}{l} 4a+ b= 4 \\[2ex] -3a-2b= -3 \end{array} \right\} \longrightarrow \begin{array}{l} a=1 \\[2ex] b=0 \end{array}$

Y, finalmente, deshacemos los dos cambios de variables para hallar la solución del sistema de ecuaciones logarítmicas original:

$\left.\begin{array}{l} a=1 \\[2ex] b=0 \end{array} \right\}\longrightarrow \left.\begin{array}{l} log(x)=1 \\[2ex] log(y)=0 \end{array} \right\}\longrightarrow \left.\begin{array}{l}x=10\\[2ex] y=1 \end{array} \right\}$

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones logarítmicas

A continuación, te dejamos con varios ejercicios resueltos paso a paso de sistemas de ecuaciones logarítmicas para que puedas practicar y así acabar de entender el concepto.

👇👇👇¡Si te surgen dudas sobre la resolución de algún sistema de ecuaciones logarítmicas, no dudes en escribirla en los comentarios!👇👇👇

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente sistema de dos ecuaciones logarítmicas con dos incógnitas:

$\left.\begin{array}{l} \log_3(x)-4 \log_3(y)= -2 \\[2ex] 3\log_3(x)+\log_3(y)= 7 \end{array} \right\}$

Ver solución

En este ejercicio los logaritmos que tienen la misma incógnita son equivalentes entre sí, por lo tanto, podemos emplear el método de reducción para solucionar el sistema. Entonces, multiplicamos la segunda ecuación por cuatro:

$\left.\begin{array}{l} \log_3(x)-4 \log_3(y)= -2 \\[2ex] 3\log_3(x)+\log_3(y)= 7\end{array} \right\} \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{\times 4} \end{array}\left.\begin{array}{l} \log_3(x)-4 \log_3(y)= -2 \\[2ex] 12\log_3(x)+4\log_3(y)= 28\end{array} \right\}$

Sumamos las dos ecuaciones logarítmicas del sistema:

$\begin{array}{crrcr} &\log_3(x)&-4\log_3(y)&=&-2\\[1.1ex] +&12\log_3(x)&+4\log_3(y)&=&28 \\ \hline &13\log_3(x)&&=&26\end{array} \right\}$

Resolvemos la ecuación con logaritmos resultante:

$13\log_3(x) = 26$

$\log_3(x) = \cfrac{26}{13}$

$\log_3(x) =2$

$x = 3^2$

$x =9$

Y, una vez hemos encontrado el valor de una incógnita, sustituimos dicho valor en una de las dos ecuaciones del sistema original para calcular la otra incógnita:

$3\log_3(x)+\log_3(y)= 7 \quad \xrightarrow{x \ = \ 9} \quad 3\log_3(9)+\log_3(y)= 7$

$3\cdot 2 +\log_3(y)= 7$

$6 +\log_3(y)= 7$

$\log_3(y)= 7-6$

$\log_3(y)= 1$

$y= 3^1$

$y =3$

En resumen, la solución del sistema de ecuaciones con logaritmos es:

$\bm{x=9 \qquad y =3}$

Ejercicio 2

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas con la misma base:

$\left.\begin{array}{l}4\log _2(2x)-5\log _2(8y)=6 \\[2ex] \log _2(2x)-3\log _2(8y)=-2 \end{array} \right\}$

Ver solución

En este problema los logaritmos del sistema que poseen la incógnita x son idénticos, y lo mismo sucede con los logaritmos que tienen la incógnita y. De manera que podemos aplicar el método de reducción para calcular el sistema de ecuaciones logarítmicas.

Así que multiplicamos la segunda ecuación por menos cuatro:

$\left.\begin{array}{l} 4\log _2(2x)-5\log _2(8y)=6 \\[2ex]-4\log _2(2x)+12\log _2(8y)=8\end{array} \right\}$

Hacemos la suma de las dos ecuaciones logarítmicas del sistema:

$\begin{array}{crrcr} &4\log_2(2x)&-5\log_2(8y)&=&6\\[1.1ex] +&-4\log_2(2x)&+12\log_2(8y)&=&8 \\ \hline &&7\log_2(8y)&=&14\end{array} \right\}$

Solucionamos la ecuación logarítmica resultante:

$7\log_2(8y) = 14$

$\log_2(8y) = \cfrac{14}{7}$

$\log_2(8y) =2$

$8y = 2^2$

$8y = 4$

$y = \cfrac{4}{8} = \cfrac{1}{2}$

Y, por último, sustituimos el valor calculado en cualquier ecuación del sistema original para averiguar el valor de la otra incógnita:

$\displaystyle \log _2(2x)-3\log _2\left(8\cdot \frac{1}{2}\right)=-2$

$\displaystyle \log _2(2x)-3\log _2(4)=-2$

$\displaystyle \log _2(2x)-3\cdot 2=-2$

$\displaystyle \log _2(2x)-6=-2$

$\displaystyle \log _2(2x)=-2+6$

$\displaystyle \log _2(2x)=4$

$2x= 2^4$

$2x= 16$

$x = \cfrac{16}{2} = 8$

En definitiva, la solución del sistema de ecuaciones logarítmicas es:

$\bm{x=8 \qquad y =}\mathbf{\cfrac{1}{2}}$

Ejercicio 3

Soluciona el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas con fracciones:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle \log(2x)-\log(5y)=-1 \\[3ex] \displaystyle 3x-\frac{y}{2}=50\end{array} \right\}$

Ver solución

La segunda ecuación de este sistema logarítmico no tiene logaritmos, por tanto, no podemos utilizar el método de reducción, sino que debemos aplicar las propiedades logarítmicas para eliminar los logaritmos del sistema.

Así pues, primero aplicamos la propiedad de la diferencia de dos logaritmos para transformar la primera ecuación:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle \log\left(\frac{2x}{5y}\right)=-1 \\[4ex] \displaystyle 3x-\frac{y}{2}=50\end{array} \right\}$

En segundo lugar, aplicamos la definición de logaritmo en la primera ecuación:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 10^{-1}=\frac{2x}{5y} \\[4ex] \displaystyle 3x-\frac{y}{2}=50\end{array} \right\}$

Recuerda que una potencia con exponente negativo se puede convertir en una fracción:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle \frac{1}{10}=\frac{2x}{5y} \\[4ex] \displaystyle 3x-\frac{y}{2}=50\end{array} \right\}$

De este modo hemos transformado el sistema de ecuaciones logarítmicas en un sistema de ecuaciones normal. Entonces, el sistema se puede resolver con el método que quieras (sustitución, reducción, igualación o gráfico), nosotros utilizaremos el método de sustitución.

Así que despejamos la variable y de la primera ecuación:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle \frac{1}{10}=\frac{2x}{5y} \\[4ex] \displaystyle 3x-\frac{y}{2}=50\end{array} \right\}\begin{array}{l} \longrightarrow \\[4ex] &\end{array} \begin{array}{l} \displaystyle \vphantom{\frac{y}{2}}5y=20x \ \longrightarrow \ y =\frac{20x}{5} = 4x\\[4ex] \displaystyle \vphantom{\frac{y}{2}}\end{array}$

Sustituimos la expresión algebraica hallada en la otra ecuación:

$\displaystyle 3x-\frac{4x}{2}=50$

Simplificamos la fracción:

$3x-2x=50$

Y hallamos el valor de x:

$x=50$

Finalmente, calculamos el valor de la incógnita y sustituyendo el valor hallado en la expresión donde hemos despejado la y:

$y=4\cdot 50 = 200$

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones logarítmicas es:

$\bm{x=50 \qquad y =200}$

Ejercicio 4

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas con 2 incógnitas:

$\left.\begin{array}{l}7x^2-2y^2=-16 \\[2ex] \log _2\left(64x\right)-\log _2\left(16y\right)=1\end{array} \right\}$

Ver solución

La primera ecuación de este sistema no tiene ningún logaritmo, por lo que no podemos utilizar el método de reducción. Así que debemos usar las propiedades de los logaritmos para quitar los logaritmos del sistema.

Entonces, aplicamos la propiedad de la diferencia de dos logaritmos en la segunda ecuación:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 7x^2-2y^2=-16\\[3ex] \displaystyle \log _2\left(\frac{64x}{16y}\right)=1\end{array} \right\}$

Simplificamos la fracción:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 7x^2-2y^2=-16\\[3ex] \displaystyle \log _2\left(\frac{4x}{y}\right)=1\end{array} \right\}$

Ahora aplicamos la definición de logaritmo en la segunda ecuación:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 7x^2-2y^2=-16\\[3ex] \displaystyle \frac{4x}{y}\right)=2\end{array} \right\}$

Y solucionamos el sistema de ecuaciones resultante con el método de sustitución. Para ello, despejamos la incógnita y de la segunda ecuación:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 7x^2-2y^2=-16\\[3ex] \displaystyle \frac{4x}{y}\right)=2\end{array} \right\} \right\}\begin{array}{l}\\[3ex] \longrightarrow\end{array} \begin{array}{l} \displaystyle \\[3ex] \vphantom{\frac{20x}{5}} 4x=2y \ \longrightarrow \ 2x=y \end{array}$

Luego, sustituimos la expresión hallada en la otra ecuación y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:

$7x^2-2(2x)^2=-16$

$7x^2-2(4x^2)=-16$

$7x^2-8x^2=-16$

$-x^2=-16$

$x^2=16$

$x=\sqrt{16}$

$x=\pm 4$

Hemos determinado dos posibles valores de x, sin embargo, -4 no es una solución del sistema porque si sustituimos su valor en las ecuaciones del sistema obtenemos un logaritmo con un argumento negativo, y matemáticamente esto no es posible. Por tanto, la única solución posible es +4.

Así pues, hallamos el valor de la incógnita y sustituyendo el +4 en la expresión donde hemos aislado la y:

$y=2\cdot 4 = 8$

De forma que la única solución del sistema de ecuaciones logarítmicas es:

$\bm{x=4 \qquad y =8}$

Ejercicio 5

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con logaritmos neperianos (o naturales):

$\left.\begin{array}{l} \ln \left(x\right)+3\ln \left(y\right)=1 \\[2ex] \ln \left(x^2\right)-2\ln \left(y\right)=2 \end{array} \right\}$

Ver solución

Aunque el sistema de ecuaciones esté formado por logaritmos neperianos (o naturales) lo resolveremos de la misma manera, ya que la única diferencia es que tienen una base diferente (el número e).

En este ejercicio los logaritmos no tienen el mismo argumento porque hay una x elevada al cuadrado. Sin embargo, podemos lograr esta condición aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:

$\left.\begin{array}{l} \ln \left(x\right)+3\ln \left(y\right)=1 \\[2ex] 2\ln \left(x\right)-2\ln \left(y\right)=2 \end{array} \right\}$

Ahora los argumentos de los logaritmos con la misma incógnita sí que son iguales y, por lo tanto, podemos aplicar el método de reducción para resolver el sistema de ecuaciones.

Así que dividimos la segunda ecuación entre -2:

$\left.\begin{array}{l} \ln \left(x\right)+3\ln \left(y\right)=1 \\[2ex] -\ln \left(x\right)+\ln \left(y\right)=-1 \end{array} \right\}$