▷ Inecuaciones

En este artículo se explica qué son las ecuaciones, cuáles son los diferentes tipos de inecuaciones y cómo se resuelven. Además, encontrarás un ejemplo resuelto paso a paso de cada tipo de inecuación.

Índice

¿Qué son las inecuaciones?

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas. Es decir, una inecuación es una expresión algebraica en la que aparece el signo <, >, ≤ o ≥. Además, la solución de una inecuación es un intervalo de números.

Por lo tanto, la diferencia entre una ecuación y una inecuación es que las ecuaciones siempre tienen el signo =, en cambio, las inecuaciones pueden tener el signo el signo <, >, ≤ o ≥. Asimismo, la solución de una ecuación es un único número, mientras que la solución de una inecuación es un intervalo de valores.

Significado de los signos <, ≤, > y ≥

Las inecuaciones pueden tener 4 signos diferentes, cuyo significado son:

El signo < significa «menor que». Por ejemplo 2<6.
El signo ≤ significa «menor o igual que». Por ejemplo 3≤3.
El signo > significa «mayor que». Por ejemplo 8>5.
El signo ≥ significa «mayor o igual que». Por ejemplo 6≥5.

Inecuaciones de primer grado

Para resolver una inecuación de primer grado se deben hacer los siguientes pasos:

Eliminar las fracciones de la inecuación multiplicando cada término por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Quitar los paréntesis de la inecuación aplicando la propiedad distributiva.
Trasponer los términos de manera que los monomios con x queden al primer miembro de la inecuación y los términos independientes al segundo miembro.
Agrupar los términos de cada miembro de la inecuación.
Despejar la incógnita x.
Expresar la solución de la inecuación de forma analítica, gráfica y por intervalos.

Ejemplo de inecuación de primer grado resuelta

$5x+1< 6x+5(x+2)-3$

Esta inecuación no tiene fracciones, pero sí que tiene paréntesis. Por lo tanto, primero aplicamos la propiedad distributiva para resolver el paréntesis:

$5x+1< 6x+5x+10-3$

En segundo lugar, transponemos los términos con x al lado izquierdo de la inecuación y los términos sin x al otro lado. Igual que con las ecuaciones, cuando un término cambia de lado también cambia de signo:

$5x-6x-5x<10-3-1$

Sumamos y restamos los términos de cada miembro:

$-6x<6$

Y ahora despejamos la incógnita x. Ten en cuenta que como pasamos dividiendo un número negativo al otro lado, debemos girar el signo de la inecuación:

$x>\cfrac{6}{-6}$

En las inecuaciones, cuando se cambia de lado un número negativo que está multiplicando o dividiendo, también se debe cambiar el sentido de la desigualdad.

$-6x\color{red}\bm{<}\color{black}6 \quad \color{blue}\bm{\longrightarrow}\color{black} \quad x\color{red}\bm{>}\color{black}\cfrac{6}{-6}$

De manera que el conjunto solución de la inecuación de primer grado es:

$x >-1$

Una vez hemos calculado el resultado numérico de la inecuación, debemos representarlo en la recta real. Para ello, primero representamos el -1 en la recta:

Ahora cogemos cualquier otro punto, por ejemplo x=0, y comprobamos si cumple la inecuación del ejercicio:

$5\cdot0+1< 6\cdot 0+5(0+2)-3$

$1<7$

Efectivamente, 1 sí que es más pequeño 7, por lo que x=0 sí que cumple la inecuación. Entonces, como el 0 está a la derecha del -1, quiere decir que todos los números a la derecha del -1 también serán solución de la inecuación:

Ahora ya sabemos que todos los números a la derecha del -1 son solución. Pero…¿y el -1? ¿también forma parte de la solución?

Si el signo es < o >, no se incluye el número obtenido en la solución de la inecuación. Y se representa con un punto abierto.

En cambio, si el signo de la inecuación es ≤ o ≥, se incluye el número obtenido en la solución. Y se representa con un punto cerrado.

En este caso el resultado de la inecuación es x>-1. Como el signo es “más pequeño que”, no está incluido el -1. En cambio, si el signo hubiera sido ≥, que quiere decir “más pequeño o igual que”, sí que se hubiera incluido el -1.

En consecuencia, como el -1 no se incluye se representa con un punto abierto, que consiste en un círculo vacío:

Finalmente, tenemos que representar el resultado de la inecuación en forma de intervalo. Para ello, hay que seguir las siguientes reglas:

Si el punto de la recta es abierto, es decir, está representado con un círculo vacío, hay que poner un paréntesis en el intervalo: $"("$ o $")"$

Si el punto de la recta es cerrado, es decir, está representado con un círculo lleno, hay que poner un corchete en el intervalo: $"$ [ $"$ o $"$ ] $"$

Por último, la flecha hacia la derecha corresponde al símbolo +∞, y la flecha hacia la izquierda a -∞. Además, los infinitos siempre se representan con paréntesis: (-∞ o +∞)

A partir de estas reglas, en el intervalo debemos poner el inicio y el final de la solución. En nuestro caso, la solución va desde el -1 hasta el final de la recta, es decir +∞, de modo que el intervalo que le corresponde es:

$x \in (-1, +\infty)$

Fíjate que hemos puesto en el lado del -1 un paréntesis porque el -1 está representado con un punto abierto. Asimismo, tanto +∞ como -∞ siempre van con paréntesis.

En la siguiente tabla puedes ver un resumen de cómo se expresa la solución de un inecuación de primer grado (o lineal) de manera numérica, gráfica y por intervalos:

soluciones de una inecuacion de primer grado

➤ Ver: ejercicios resueltos de inecuaciones de primer grado

Inecuaciones de segundo grado (o cuadráticas)

Para resolver una inecuación de segundo grado (o inecuación cuadrática) se deben hacer los siguientes pasos:

Operar con los términos de la inecuación hasta obtener solamente un término cuadrático, un término lineal y un término independiente.
Aplicar la fórmula general de la ecuación de segundo grado para hallar dos valores.
Dividir la recta numérica con los valores calculados en el paso 2. Se obtendrán tres tramos.
Evaluar un valor de cada tramo en la inecuación de segundo grado.
La solución de la inecuación de segundo grado son los tramos que cumplen con la desigualdad.

Ejemplo de inecuación de segundo grado (o cuadrática) resuelta

$x^2-x-6\ge 0$

En este caso no debemos hacer ninguna operación previa, porque no hay ni paréntesis ni fracciones. Entonces, igualamos la expresión de la inecuación a 0, y la resolvemos como si fuera una ecuación de segundo grado aplicando la fórmula general:

$x^2-x-6=0$

$\begin{aligned}x&=\cfrac{1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}=\\[1.5ex]&= \cfrac{1\pm \sqrt{25}}{2} = \cfrac{1\pm 5}{2}=\begin{cases}\cfrac{1+5}{2}=3\\[3ex]\cfrac{1-5}{2}=-2\end{cases}\end{aligned}$

Hemos obtenido los valores de x=3 y x=-2. Ahora debemos representar dichos valores en la recta numérica:

Una vez hemos representado en la recta los valores hallados, tenemos que comprobar qué tramo es la solución de la inecuación. Para ello, cogemos cualquier número de cada tramo, lo sustituimos en la inecuación, y comprobamos si cumple la inecuación o no.

Tramo x<-2

Evaluamos x=-3 en la inecuación:

$(-3)^2-(-3)-6\ge 0$

$6\ge 0$ ✅

Tramo -2<x<-3

Evaluamos x=0 en la inecuación:

$0^2-0-6\ge 0$

$-6\ \cancel{\ge } \ 0$ ❌

Tramo x>3

Evaluamos x=4 en la inecuación:

$4^2-4-6\ge 0$

$6\ge 0$ ✅

Si un número de un tramo cumple con la desigualdad, significa que todos los números de ese tramo también cumplen con la desigualdad. Por lo tanto, los tramos que cumplen con la inecuación de segundo grado son los extremos:

Como puedes ver, hemos representado los números con puntos cerrados, porque la inecuación tiene el signo ≥. Pero si la inecuación cuadrática hubiera tenido el signo >, deberíamos haber representado los puntos abiertos (los puntos no estarían incluidos).

Finalmente, debemos expresar la solución en forma de intervalo. El intervalo del tramo de la izquierda es (-∞,2], y el intervalo del tramo de la derecha corresponde a [3,+∞). De manera que la solución de la inecuación de segundo grado es:

$x \in (-\infty, -2] \ \cup \ [3,+\infty)$

Fíjate que para unir dos intervalos diferentes se utiliza el símbolo $\cup .$

➤ Ver: ejercicios resueltos de inecuaciones de segundo grado

Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Para resolver un sistema de inecuaciones con una sola incógnita se deben hacer los siguientes pasos:

Resolver cada una de las inecuaciones con una incógnita del sistema por separado.
Representar todas las soluciones halladas en la recta numérica.
La solución del sistema de inecuaciones es la intersección de todas las soluciones.

Ejemplo de sistema de inecuaciones con una incógnita resuelto

$\left. \begin{array}{l} -2x+2>-4 \\[2ex] 2x\ge -5+x \end{array} \right\}$

Lo primero que debemos hacer es resolver cada inecuación del sistema por separado. Así que vamos a resolver la primera inecuación lineal:

$-2x+2>-4$

Ponemos todos los términos con x en un lado y los términos sin incógnita en el otro lado:

$-2x>-4-2$

Agrupamos términos:

$-2x>-6$

Despejamos la incógnita x:

$x<\cfrac{-6}{-2}$

$x < 3$

Recuerda que cuando en una inecuación cambiamos de lado un número negativo que está multiplicando o dividiendo, hay que girar el signo de la desigualdad.

Y ahora representamos el resultado obtenido sobre la recta numérica:

Una vez resuelta la primera inecuación del sistema, tenemos que resolver la otra inecuación:

$2x\ge -5+x$

Pasamos la x al primer miembro de la inecuación cambiando su signo:

$2x-x\ge -5$

Operamos:

$x\ge -5$

Y representamos el resultado obtenido en la recta:

Una vez hemos resuelto todas las inecuaciones que forman el sistema, tenemos que representar la solución de cada inecuación sobre la misma recta:

representar un sistema de inecuaciones en la recta

De manera que la solución del sistema de inecuaciones con una incógnita es la intersección de la solución de cada inecuación, es decir, el tramo que cumple con las dos inecuaciones:

solucion de un sistema de inecuaciones con una incognita

El conjunto solución del sistema es el tramo representado de color verde, por lo tanto, la solución del sistema en forma de intervalo es:

$x\in [-5,3)$

En este caso debemos poner un corchete en el -5 porque es un punto cerrado. En cambio, debemos poner un paréntesis en el 3 porque es un punto abierto.

➤ Ver: ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Sistema de inecuaciones con dos incógnitas

Para resolver un sistema de inecuaciones con dos incógnitas se deben hacer los siguientes pasos:

Representar la región solución de la primera inecuación en una gráfica. Para ello se debe hacer:
- Transformar la desigualdad en una igualdad.
- Construir una tabla de valores, representar los puntos obtenidos en una gráfica, y trazar la recta que pasa por encima de los puntos. Entonces, la gráfica quedará dividida en dos regiones.
- Sustituir un punto de la gráfica en la inecuación para determinar qué región cumple con la desigualdad, dicha región es la solución de esa inecuación.
Repetir el paso anterior para todas las inecuaciones que forman el sistema.
La solución del sistema de inecuaciones con dos incógnitas es la intersección de las soluciones de todas las inecuaciones, es decir, la región donde se cumplen todas las inecuaciones del sistema.

Ejemplo de sistema de inecuaciones con dos incógnitas resuelto

$\left.\begin{array}{l}x+y>2\\[2ex]-3x+y\le3\end{array}\right\}$

Paso 1: Representar la primera inecuación en una gráfica

Lo primero que debemos hacer es representar la primera inecuación en un gráfico. Para ello, transformamos la desigualdad en una igualdad:

$x+y>2 \quad \longrightarrow \quad x+y=2$

Despejamos la incógnita y de la ecuación:

$y=2-x$

Entonces, tenemos que crear una tabla de valores otorgando valores a la incógnita x. Obteniendo 2 puntos es suficiente:

$x= 0 \ \longrightarrow \ y = 2-0=2$

$x= 1 \ \longrightarrow \ y = 2-1= 1$

$\begin{array}{c|c}x&y\\ \hline 0&2\\1&1\end{array}$

Ahora representamos en un gráfico los puntos obtenidos de la tabla de valores. Luego, trazamos la recta que pasa por encima de los puntos:

Fíjate que hemos representado la recta a trazos (- – – -) porque el signo de la inecuación no tiene el signo igual (>). Si el signo de la inecuación hubiera sido ≤ o ≥ tendríamos que haberla representado como una recta continua (——). Más abajo veremos por qué se debe hacer así.

Si te fijas, la recta divide la gráfica en dos lados. Pues debemos averiguar qué lado de la recta cumple la inecuación. Para ello, cogemos cualquier punto que no esté encima de la recta y comprobamos si cumple la inecuación.

Por ejemplo el punto (0,0):

$x+y>2 \ \xrightarrow{x \ = \ 0 \ ; \ y \ = \ 0} \ 0 + 0 > 2 \ \longrightarrow \ 0 \ \cancel{>} \ 2$ ❌

El punto (0,0) no cumple la inecuación, por lo tanto, la región que sí que cumplirá la inecuación será la otra, donde no está el (0,0). Esto es, el semiplano encima de la recta:

De manera que toda la zona pintada de amarillo cumple la inecuación $x+y>2.$ Sin embargo, los puntos de encima la recta no cumplen la inecuación porque el signo > no tiene el igual. Por eso la hemos representado a trazos.

Si el signo de la inecuación es < o > los puntos encima de la recta no cumplen la inecuación (no son solución). Y, por tanto, representamos la recta a trazos: – – – –

En cambio, si el signo de la inecuación es ≤ o ≥ los puntos encima de la recta también cumplen la inecuación (son solución). Y, por tanto, representamos la recta de manera continua: ——

Paso 2: Representar en el mismo gráfico la otra inecuación del sistema

Ahora tenemos que repetir el mismo el proceso anterior con la otra inecuación. Así que representaremos en el mismo gráfico la inecuación $-3x+y\le3.$ Para ello, cambiamos el signo de la desigualdad por un igual:

$-3x+y\le3 \quad \longrightarrow \quad -3x+y=3$

Ahora despejamos la incógnita y, y creamos una tabla de valores:

$y = 3+3x$

$x= 0 \ \longrightarrow \ y = 3+3\cdot 0=3$

$x= -1 \ \longrightarrow \ y = 3+3\cdot (-1)= 0$

$\begin{array}{c|c}x&y\\ \hline 0&3\\ -1&0\end{array}$

Así pues, representamos en el mismo gráfico los puntos calculados en la tabla de valores, y luego unimos los puntos trazando una recta:

Fíjate que esta vez hemos representado la recta azul de manera continua, ya que el signo de la desigualdad tiene el signo igual (≤).

Igual que antes, ahora tenemos que comprobar qué lado de la recta azul cumple la inecuación. Para ello cogemos cualquier punto que no esté encima de la recta y comprobamos si cumple la inecuación:

$-3x+y\le3 \ \xrightarrow{x \ = \ 0 \ ; \ y \ = \ 0} \ -3 \cdot 0 + 0 \le 3 \ \longrightarrow \ 0\le3$ ✅

El punto (0,0) cumple con la desigualdad, por tanto, el lado que sí que cumplirá la inecuación será donde esté el (0,0). Es decir el semiplano a la derecha de la recta:

dos inecuaciones respresentadas en un grafico

Toda la zona pintada de azul cumple la inecuación $-3x+y\le3.$ Incluso los puntos encima de la recta azul también cumplen con la inecuación, ya que tiene el signo ≤. Por eso la hemos representado de manera continua.

Paso 3: La solución del sistema es la zona donde se cumplen las dos inecuaciones

Una vez tenemos todas las inecuaciones del sistema representadas en un mismo gráfico, podemos determinar fácilmente la solución del sistema de inecuaciones con dos incógnitas.

La solución del sistema de inecuaciones es la región donde se cumplen ambas inecuaciones, es decir, la zona pintada por los dos colores:

sistema de inecuaciones con dos incognitas

En conclusión, la región pintada de verde es la solución del sistema de inecuaciones con dos variables, o dicho de otra forma, los puntos de esa parte del gráfico verifican las dos inecuaciones del sistema.

Además, la parte de la recta azul dentro de la zona amarilla también es solución, ya que cumple las dos inecuaciones: cumple $-3x+y\le3$ porque la inecuación también contiene el signo igual (≤), y cumple $x+y>2$ porque está dentro de la zona pintada de amarillo.

Por otro lado, la parte de la recta discontinua amarilla que está dentro de la región azul no forma parte de la solución del sistema, ya que no cumple con la inecuación $x+y>2.$ Esto es debido a que el signo de la desigualdad (>) no tiene el signo igual, lo que significa que no incluye los puntos de la propia recta.

➤ Ver: ejercicios resueltos de sistemas de inecuaciones con dos incógnitas