Ecuaciones logarítmicas (ecuaciones con logaritmos)

Aquí te explicamos qué son las ecuaciones logarítmicas y cómo se resuelven. Además, podrás practicar con 15 ejercicios resueltos paso a paso de ecuaciones logarítmicas.

¿Qué son las ecuaciones logarítmicas?

Las ecuaciones logarítmicas, o ecuaciones con logaritmos, son ecuaciones que tienen la incógnita en el argumento de un logaritmo.

ecuaciones logaritmicas o ecuaciones con logaritmos

Para resolver las ecuaciones logarítmicas se deben utilizar las propiedades de los logaritmos. Así que antes de ver cómo se resuelven este tipo de ecuaciones te recomiendo que hagas un ⬇⬇repaso de las propiedades de los logaritmos.⬇⬇

  • Definición matemática de logaritmo:

 \log_a y = x \iff a^x=y

  • Cambio de base logarítmica:

 \log_a x = \cfrac{\log x}{\log a}

  • Logaritmo de un producto:

 \log_{a} \left(x \cdot y\right) = \log_a x + \log_a y

  • Logaritmo de un cociente:

\displaystyle \log_{a}\left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y

  • Logaritmo de una potencia:

 \log_{a} x^n = n \cdot \log_a x

  • Logaritmo de un radical:

 \log_a \sqrt[n]{x} = \cfrac{\log_a x}{n}

  • Logaritmo de la base:

\log_a a = 1

  • Logaritmo de uno:

\log_a 1 = 0

 

Cómo resolver ecuaciones logarítmicas

Para resolver una ecuación logarítmica se deben hacer los siguientes pasos:

  1. Transformar la ecuación logarítmica con las propiedades de los logaritmos, de manera que solamente quede un logaritmo en cada miembro de la ecuación.
  2. Simplificar los logaritmos de ambos miembros de la ecuación.
  3. Resolver la ecuación resultante.
  4. Comprobar las soluciones obtenidas.

En ocasiones, puede que no sea necesario simplificar los logaritmos de los dos miembros de la ecuación a la vez (por ejemplo en el ejercicio 5), pero normalmente las ecuaciones logarítmicas se resuelven de esta manera.

Este procedimiento puede resultar un poco difícil de entender, así que para que puedas ver exactamente cómo se hacen las ecuaciones logarítmicas hemos resuelto un ejemplo paso a paso en el siguiente apartado.

Ejemplo de ecuación logarítmica resuelta

Una vez hemos visto la teoría de las ecuaciones logarítmicas (o ecuaciones con logaritmos), vamos a explicar la resolución de un ejemplo paso a paso para que puedas ver exactamente cómo se calculan este tipo de ecuaciones:

\log_7 (3x - 4) = \log_7 x + \log _7 2

Primero de todo, debemos lograr tener un solo logaritmo en cada lado de la ecuación. Para ello, podemos aplicar la propiedad del logaritmo de un producto para convertir la suma de dos logaritmos en un único logaritmo:

\log_7 (3x - 4) = \log_7 (x\cdot 2)

\log_7 (3x - 4) = \log_7 2x

Ahora solo hay un logaritmo en cada miembro de la ecuación y, además, ambos tienen la misma base. Por lo tanto, podemos simplificar la ecuación quitando los dos logaritmos:

\cancel{\log_7} (3x - 4) = \cancel{\log_7} 2x

3x-4 =2x

De esta forma hemos podido eliminar los logaritmos de la ecuación y simplemente tenemos que resolver una ecuación de primer grado:

3x-2x =+4

\bm{x =4}

En esta ecuación logarítmica hemos obtenido una única solución. Y en las ecuaciones logarítmicas siempre tenemos que comprobar las soluciones. Por lo que sustituimos el valor de la solución obtenida en la ecuación original:

 \log_7 (3\cdot 4 - 4) = \log_7 4 + \log _7 2

\log_7 (12 - 4) = \log_7 4 + \log _7 2

\log_7 8 = \log_7 4 + \log _7 2

\log_7 8 = \log_7 (4\cdot 2)

\log_7 8 = \log_7 8

El valor de la solución cumple con la igualdad y, además, con ella no hay ningún logaritmo de un número negativo. Por lo que la solución x=4 es correcta.

Ahora que ya has visto cómo se solucionan las ecuaciones logarítmicas, el siguiente nivel es pasar a las ecuaciones exponenciales. De hecho, este tipo de ecuaciones también se resuelven utilizando logaritmos. Puedes ver la explicación en cómo resolver ecuaciones exponenciales paso a paso.

Ejercicios resueltos de ecuaciones logarítmicas

A continuación, te dejamos con 15 ejercicios resueltos paso a paso de ecuaciones logarítmicas (o ecuaciones con logaritmos). Encontrarás ecuaciones logarítmicas resueltas tanto de nivel de ESO como de Bachillerato.

👇👇👇¡Si tienes alguna duda sobre la resolución de algún ejercicio o quieres que te resolvamos alguna ecuación logarítmica, no dudes en escribirla en los comentarios!👇👇👇

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente ecuación logarítmica:

 \log_9 x + \log_9 2 = \log_9 (x+4)

En primer lugar, aplicamos la propiedad del logaritmo de una multiplicación:

 \log_9 (x\cdot 2)  = \log_9 (x+4)

 \log_9 2x  = \log_9 (x+4)

De esta forma tenemos un único logaritmo con la misma base en los dos lados de la ecuación, por lo que podemos eliminar ambos logaritmos:

 \cancel{\log_9} 2x  = \cancel{ \log_9} (x+4)

  2x  = (x+4)

Resolvemos la ecuación lineal resultante:

  2x  = x+4

  2x - x = 4

 \bm{x = 4}

Y, por último, comprobamos la solución calculada:

 \log_9 4 + \log_9 2 = \log_9 (4+4)

\log_9 (4 \cdot 2) = \log_9 8

 \log_9 8 = \log_9 8

Obtenemos el mismo resultado en los dos lados de la ecuación y no hay ningún logaritmo de un número negativo. Por tanto, la solución x=4 es correcta.

 

Ejercicio 2

Calcula la siguiente ecuación logarítmica:

 \log 12= \log 6x - \log 3

En este problema debemos utilizar la propiedad del logaritmo de una división para transformar la expresión algebraica del segundo miembro:

 \displaystyle  \log 12=\log \left( \frac{6x}{3} \right)

 \log 12=\log 2x

De este modo ahora solo tenemos un logaritmo con la misma base en los dos miembros de la ecuación, por lo que podemos quitar ambos logaritmos:

\cancel{\log} 12=\cancel{\log} 2x

  12=2x

Calculamos la ecuación de grado 1 resultante:

 \cfrac{12}{2}=x

 \bm{6 = x}

Y, finalmente, verificamos la solución:

 \log 12= \log 6\cdot 6 - \log 3

 \log 12= \log 36 - \log 3

 \displaystyle\log 12= \log \left( \frac{36}{3} \right)

 \log_6 12 = \log_6 12

La solución cumple la igualdad logarítmica y no obtenemos ningún logaritmo de un número negativo. En consecuencia, la solución x=6 es correcta.

 

Ejercicio 3

Resuelve la siguiente ecuación con logaritmos:

 2\log_{4}3x-\log_{4}5x=\log_{4}\left(3x-12\right)

A diferencia de los ejercicios anteriores, en este ejercicio tendremos que utilizar más de una propiedad logarítmica para poder tener solamente un logaritmo en cada lado de la ecuación. En concreto, deberemos emplear 2 propiedades de los logaritmos.

Primero aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia:

 \log_{4}\left(3x\right)^2-\log_{4}5x=\log _{4}\left(3x-12\right)

 \log_{4}9x^2-\log_{4}5x=\log _{4}\left(3x-12\right)

Luego usamos la propiedad del cociente de un logaritmo:

 \displaystyle\log_{4}\left(\frac{9x^2}{5x}\right)=\log _{4}\left(3x-12\right)

\displaystyle \log_{4}\left(\frac{9x}{5}\right)=\log _{4}\left(3x-12\right)

Ahora simplificamos los logaritmos:

\displaystyle \cancel{\log_{4}}\left(\frac{9x}{5}\right)=\cancel{\log _{4}}\left(3x-12\right)

\displaystyle\frac{9x}{5}=3x-12\right

Y resolvemos la ecuación con fracciones que hemos obtenido:

 9x=5\cdot (3x-12)

 9x=15x-60

 9x-15x=-60

 -6x=-60

 x=\cfrac{-60}{-6}

 \bm{x=10}

Para terminar, comprobamos la solución:

 2\log_{4}3\cdot 10-\log_{4}5\cdot 10=\log_{4}\left(3\cdot 10-12\right)

 2\log_{4}30-\log_{4}50=\log_{4}18

 \log_{4}30^2-\log_{4}50=\log_{4}18

 \log_{4}900-\log_{4}50=\log_{4}18

 \displaystyle\log_{4}\left(\frac{900}{50}\right)=\log_{4}18

 \displaystyle\log_{4}18=\log_{4}18

Al sustituir la solución en la ecuación logarítmica obtenemos una igualdad y no hay ningún logaritmo de un número negativo. Así que la solución x=10 es correcta.

 

Ejercicio 4

Soluciona la siguiente ecuación con logaritmos:

\log (x+1)= \log(x-3)- \log 5

Primero de todo, utilizamos la propiedad de la diferencia de logaritmos:

\displaystyle \log (x+1)= \log\left(\frac{x-3}{5}\right)

Entonces, como tenemos un único logaritmo con la misma base a cada lado de la ecuación, los simplificamos:

\displaystyle \cancel{\log} (x+1)= \cancel{\log}\left(\frac{x-3}{5}\right)

\displaystyle x+1= \frac{x-3}{5}

El número 5 está dividiendo a todo el miembro derecho de la ecuación, así que lo podemos pasar multiplicando al otro miembro:

5(x + 1) = x -3

Aplicamos la propiedad distributiva para quitar el paréntesis de la ecuación:

5x+5 = x -3

Y despejamos la incógnita x:

5x -x = -5 -3

4x = -8

x = \cfrac{-8}{4}

\bm{x=-2}

Comprobamos la solución hallada sustituyendo su valor en la ecuación logarítmica:

\log (-2+1) = \log(-2-3)- \log 5

\log (-1) = \log (-5)- \log 5

Pero en este problema aparecen dos logaritmos de números negativos (log(-1) y log(-5)), cuando los logaritmos de números reales negativos no existen. Por lo tanto, la ecuación logarítmica no tiene solución.

 

Ejercicio 5

Calcula la siguiente ecuación con logaritmos:

\displaystyle \log_2 x^3 =6+ \log_2 \left( \frac{x}{4} \right)

Al contrario que en las ecuaciones logarítmicas anteriores, en esta no tenemos que hacer el paso de simplificar los logaritmos de ambos miembros de la ecuación, sino que debemos utilizar la definición de logaritmo (ver propiedades de los logaritmos más arriba) para resolverla.

Primero empleamos la propiedad del logaritmo de una potencia en el primer miembro:

\displaystyle 3\log_2 x =6+ \log_2 \left( \frac{x}{4} \right)

Luego aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente en el segundo miembro de la ecuación:

3 \log_2 x =6+ \log_2 x - \log_2 4

Utilizamos la definición de logaritmo para simplificar log24 ya que 22=4.

3 \log_2 x =6+ \log_2 x -2

De manera similar a una ecuación simple, ponemos los logaritmos con x en un lado y el resto de términos en el otro lado:

3 \log_2 x - \log_2 x = 6-2

2 \log_2 x  =4

Como el 2 está multiplicando a todo el lado izquierdo, lo podemos pasar dividiendo a todo el lado derecho:

\log_2 x  =\cfrac{4}{2}

\log_2 x  = 2

Y, finalmente, aplicamos la definición de logaritmo para resolver la ecuación:

2^2=x

\bm{4=x}

Comprobamos que la solución esté bien evaluando su valor en la ecuación con logaritmos:

\displaystyle \log_2 4^3 =6+ \log_2 \left( \frac{4}{4} \right)

\log_2 64 =6+ \log_2 1

6 =6+ 0

6 = 6

Al comprobar la solución obtenemos una igualdad y, además, no tenemos ningún logaritmo de un número negativo. Por lo que la solución x=4 es correcta.

 

Ejercicio 6

Halla la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

 \log_5 5x = \log_5 x^3 - \log_5 5

En primer lugar, usamos la propiedad del logaritmo de una potencia:

 \log_5 5x =3 \cdot \log_5 x - \log_5 5

Ahora aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto:

 \log_5 5 + \log_5 x =3\log_5 x - \log_5 5

 1 + \log_5 x =3  \log_5 x - 1

Como si fuera una ecuación de primer grado, ponemos todos los logaritmos con x a un lado y el resto de términos al otro lado:

  \log_5 x - 3  \log_5 x = -1 - 1

 -2\log_5 x = -2

El -2 está multiplicando a todo el lado izquierdo de la ecuación, así que lo podemos pasar dividiendo a todo el lado derecho:

 \log_5 x = \cfrac{-2}{-2}

 \log_5 x = 1

Y hallamos la x aplicando la definición matemática de logaritmo:

 5^1 = x

 \bm{5 = x}

Recuerda que en las ecuaciones logarítmicas siempre debemos comprobar las soluciones. Por tanto:

\log_5 5\cdot 5 = \log_5 5^3 - \log_5 5

 \log_5 25 = 3  - 1

 2 = 2

La solución x=5 verifica la igualdad, por lo que efectivamente es la solución de la ecuación con logaritmos.

 

Ejercicio 7

Determina la solución de la siguiente ecuación logarítmica:

 \log _2 x+\log _2 2x=3-\log _2 4x

Primero trasponemos el último logaritmo y lo ponemos en el miembro izquierdo:

 \log _2 x+\log _2 2x+\log _2 4x=3

Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos:

 \log _2 (x\cdot 2x\cdot 4x)=3

 \log _2 (8x^3)=3

Utilizamos la definición matemática de logaritmo para eliminar el logaritmo de la ecuación:

 2^3 = 8x^3

 8= 8x^3

Despejamos la variable x:

 \cfrac{8}{8} =x^3

 1 =x^3

Y hallamos las soluciones de la ecuación con logaritmos calculando la raíz cúbica:

 \sqrt[3]{1} =x

 \bm{1 =x}

La única solución real de la raíz cubica de 1 es 1. Aunque tiene dos otras soluciones complejas no las analizaremos en esta página ya que requiere un nivel de matemáticas más avanzado que el de secundaria.

Finalmente, comprobamos que el valor obtenido sea realmente una solución de la ecuación:

 \log _2 1+\log _2 2\cdot 1=3-\log _2 4\cdot 1

 \log _2 1+\log _2 2=3-\log _2 4

 \log _2 1\cdot  2=3-2

 \log _2 2=1

 1=1

De manera que, efectivamente, la solución de la ecuación logarítmica es x=1.

 

Ejercicio 8

Resuelve la siguiente ecuación con logaritmos:

 \log_5 (x+1) -2  = \log_5 (x-1)

Primero de todo, ordenamos la ecuación de la forma que nos interese para aplicar las propiedades de los logaritmos:

 \log_5 (x+1)  - \log_5 (x-1) = +2

Ahora aplicamos la propiedad de la resta de dos logaritmos:

 \displaystyle\log_5 \left(\frac{(x+1)}{(x-1)} \right) = +2

Empleamos la definición de logaritmo para quitar el logaritmo de la ecuación:

5^2= \cfrac{(x+1)}{(x-1)}

25= \cfrac{(x+1)}{(x-1)}

El factor (x-1) está dividiendo a todo el lado derecho, por lo tanto, lo podemos pasar multiplicando a todo el lado izquierdo:

(x-1) \cdot 25= x+1

Resolvemos el paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

25x - 25= x+1

Y calculamos la ecuación lineal resultante:

25x - x = +25 +1

 24x = 26

 x = \cfrac{26}{24} = \mathbf{\cfrac{13}{12}}

Para terminar, sustituimos la solución obtenida en la ecuación del principio para comprobar si es correcta::

 \displaystyle \log_5 \left(\frac{13}{12}+1 \right) -2  = \log_5 \left(\frac{13}{12}-1\right)

En este caso es mejor utilizar la calculadora para resolver los logaritmos y las operaciones con fracciones:

 \log_5 (2,08) -2  = \log_5 (0,08)

 0,46 -2  = -1,54

 -1,54  = -1,54

Obtenemos el mismo resultado en los dos lados de la ecuación y no hay ningún logaritmo de un número negativo. Por tanto, la solución  x =\cfrac{13}{12}  es correcta.

 

Ejercicio 9

Determina la solución de la siguiente ecuación con logaritmos:

 2\log _8 x=5\log _8 4-4\log _8 2

En primer lugar, aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia en los 3 logaritmos que tiene la ecuación:

 \log _8 x^2 =\log _8 4^5-\log _8 2^4

 \log _8 x^2 =\log _8 1024-\log _8 16

Después usamos la propiedad del logaritmo de un cociente:

 \log _8 x^2 =\log _8 \cfrac{1024}{16}

 \log _8 x^2 =\log _8 64

Ahora tenemos un solo logaritmo en cada miembro de la ecuación y ambos tienen la misma base, por lo que podemos simplificar los dos logaritmos:

 \cancel{\log _8} x^2 =\cancel{\log _8} 64

  x^2 =64

Resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta efectuando la raíz cuadrada:

 x =\sqrt{64}

 \bm{x =\pm 8}

En este ejercicio hemos obtenido 2 soluciones de la ecuación cuadrática, así que debemos comprobar las dos soluciones:

 2\log _8 8=5\log _8 4-4\log _8 2

 \log _8 8^2=\log _8 4^5-\log _8 2^4

 \log _8 64=\log _8 1024-\log _8 16

 \log _8 64=\log _8 \cfrac{1024}{16}

 \log _8 64=\log _8 64

 2\log _8 (-8)=5\log _8 4-4\log _8 2

La solución x=+8 sí que verifica la ecuación logarítmica. Por contra, al sustituir el valor x=-8 en la ecuación logarítmica obtenemos un logaritmo de un número negativo, que matemáticamente no existen. Por lo tanto, la única solución de la ecuación logarítmica es x=+8.

 

Ejercicio 10

Calcula la siguiente ecuación logarítmica:

   2\log(x+1) - \log 4 = \log (x+1)

Antes de hacer operaciones con los logaritmos, cambiaremos de lado el logaritmo de 4 para facilitar luego los cálculos de la ecuación:

   2\log(x+1) = \log (x+1) +\log 4

Ahora aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia:

   \log (x+1)^2 = \log (x+1) +\log 4

En tercer lugar, empleamos la propiedad de la adición de logaritmos:

   \log (x+1)^2 = \log \lbig( (x+1)\cdot 4\rbig)

   \log (x+1)^2 = \log (4x+4)

Debido a la inyectividad de los logaritmos, podemos quitarlos de la ecuación porque hay un solo logaritmo con la misma base en los dos miembros de la ecuación:

 \cancel{\log }(x+1)^2 = \cancel{\log}(4x+4)

   (x+1)^2 =4x+4

Calculamos la identidad notable (o producto notable):

   x^2+1^2 +2\cdot x  \cdot 1 =4x+4

   x^2+1 +2x =4x+4

Trasponemos y agrupamos términos semejantes:

   x^2+1 +2x -4x-4=0

x^2 -2x -3=0

Y resolvemos la ecuación de segundo grado completa con la fórmula general:

 \begin{aligned} x & = \cfrac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[2ex] & =\cfrac{-(-2)  \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}  \\[2ex] & = \cfrac{+2 \pm \sqrt{4+12}}{2}\\[2ex] & =\cfrac{+2 \pm \sqrt{16}}{2} \\[1.5ex] & = \cfrac{2 \pm 4}{2} =  \begin{cases} \cfrac{2 +4}{2} = \dfrac{6}{2}=\bm{3} \\[3ex] \cfrac{2-4}{2} = \dfrac{-2}{2} = \bm{-1} \end{cases} \end{aligned}

Como siempre se hace en este tipo de ecuaciones, comprobamos las soluciones obtenidas:

 2\log(3+1) - \log 4 = \log (3+1)

   2\log(4) - \log 4 = \log (4)

   \log 4 = \log 4

 2\log(-1+1) - \log 4 = \log (-1+1)

   2\log 0 - \log 4 = \log 0

El valor x=3 sí que es solución porque cumple con la igualdad. En cambio, el valor x=-1 no es solución porque no existe el logaritmo de 0. En conclusión, la única solución de la ecuación logarítmica es x=3.

 

Ejercicio 11

Soluciona la siguiente ecuación logarítmica:

 \log _6x^3-\log _6x^2+2\log _63=2

Lógicamente, existen varias formas de solucionar esta ecuación logarítmica. Sin embargo, siempre hay que pensar cómo queremos resolverla para hacer los mínimos cálculos posibles. Por ejemplo, en este caso depende de cómo la hagas puede salirte una ecuación de tercer grado (o ecuación cúbica), lo que incrementa enormemente su dificultad y, por tanto, no nos conviene.

Nosotros resolveremos la ecuación logarítmica de este ejercicio aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia en cada uno de los logaritmos:

 3\log _6x-2\log _6x+\log _63^2=2

 3\log _6x-2\log _6x+\log _69=2

Ahora tenemos dos términos cuyos logaritmos son idénticos (log6x), así que los podemos restar:

 \log _6x+\log _69=2

Aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto:

 \log _6x\cdot 9=2

 \log _6 9x=2

Utilizamos la definición algebraica de logaritmo para quitar el logaritmo:

 6^2 = 9x

36 = 9x

Y calculamos la ecuación de primer grado resultante:

 \cfrac{36}{9} = x

 \bm{4 = x}

Para acabar, corroboramos la solución calculada:

 \log _64^3-\log _64^2+2\log _63=2

 \log _6\cfrac{4^3}{4^2}+\log _63^2=2

 \log _6 4+\log _6 9=2

 \log _6 4\cdot 9=2

 \log _6 36=2

2=2

Cuando x=4 se cumple la ecuación con logaritmos, por lo que efectivamente se trata de la solución de la ecuación del ejercicio.

 

Ejercicio 12

Resuelve la siguiente ecuación con logaritmos neperianos:

 \ln x^3 - \ln x = \ln(2x+3)

Recuerda que el logaritmo neperiano (o logaritmo natural) es como un logaritmo normal pero que tiene como base el número e, es decir, ln=loge. De manera que tiene las mismas propiedades que los logaritmos y las ecuaciones logarítmicas con logaritmos neperianos se resuelven de la misma forma.

Así pues, aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente en el primer miembro de la ecuación:

  \displaystyle \ln \left( \frac{x^3}{x} \right) = \ln(2x+3)

   \ln x^2  = \ln(2x+3)

Ahora nos queda un único logaritmo con la misma base en los dos lados de la ecuación, por lo que podemos quitar los logaritmos de la ecuación:

 \cancel{ \ln} x^2  = \cancel{\ln}(2x+3)

 x^2  = 2x+3

 x^2  -2x-3=0

Solucionamos la ecuación cuadrática resultante aplicando la fórmula general:

 \begin{aligned}x & = \cfrac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[2ex] & =\cfrac{-(-2)  \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \\[2ex] & = \cfrac{+2 \pm \sqrt{4+12}}{2}\\[3ex] & =\cfrac{+2 \pm \sqrt{16}}{2} \\[1.5ex] & =\cfrac{2 \pm 4}{2}  = \begin{cases} \cfrac{2 +4}{2} = \dfrac{6}{2}=\bm{3} \\[4ex] \cfrac{2-4}{2} = \dfrac{-2}{2} = \bm{-1} \end{cases} \end{aligned}

En las ecuaciones con logaritmos neperianos también debemos comprobar las soluciones. Así que sustituimos las soluciones obtenidas en la ecuación del principio:

   \ln (3^3) - \ln (3) = \ln(2\cdot 3+3)

  3 \ln 3 - \ln 3 = \ln(6+3)

  2 \ln 3  = \ln 9

  \ln 3^2  = \ln 9

   \ln 9 = \ln 9

 \ln \bigl((-1)^3\bigr) - \ln (3) = \ln(2\cdot (-1)+3)

   \ln (-1) - \ln (3) = \ln(-2+3)

El logaritmo neperiano de un número negativo no existe, por lo que x=-1 no es una solución posible. De forma que la única solución de la ecuación con logaritmos neperianos es x=3.

 

Ejercicio 13

Determina la solución de la siguiente ecuación con logaritmos:

 \log(x^2+3x+36)=1+\log(x+3)

Aunque parezca contradictorio ya que normalmente el objetivo es eliminar los logaritmos, en este ejercicio primero aplicaremos la propiedad del logaritmo de la propia base, para así transformar el término independiente en un logaritmo de la misma base que los otros logaritmos:

 \log(x^2+3x+36)=\log 10+\log(x+3)

Este cambio se puede realizar debido a que el logaritmo de un número que es equivalente a su base siempre es igual a 1 (y cuando el logaritmo no tiene base significa que su base es 10).

De este modo, podemos aplicar la propiedad del logaritmo de un producto en el miembro derecho de la ecuación:

 \log(x^2+3x+36)=\log \bigl(10\cdot (x+3)\bigr)

 \log(x^2+3x+36)=\log (10x+30)

Ahora ya podemos simplificar los logaritmos:

 \cancel{\log}(x^2+3x+36)=\cancel{\log}(10x+30)

 x^2+3x+36=10x+30

Ponemos todos los monomios en el primer miembro y agrupamos los que son del mismo grado:

 x^2+3x+36-10x-30=0

 x^2-7x+6=0

Calculamos la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general:

 \begin{aligned}x & = \cfrac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[2ex] & =\cfrac{-(-7)  \pm \sqrt{(-7)^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\[2ex] & = \cfrac{+7 \pm \sqrt{49-24}}{2}\\[3ex] & =\cfrac{+7 \pm \sqrt{25}}{2} \\[1.5ex] & =\cfrac{7 \pm 5}{2}  = \begin{cases} \cfrac{7 + 5}{2}=\cfrac{12}{2}=\bm{6} \\[4ex] \cfrac{7-5}{2}=\cfrac{2}{2}=\bm{1} \end{cases} \end{aligned}

Y, para terminar, verificamos las dos soluciones halladas:

 \log(6^2+3\cdot 6+36)=1+\log(6+3)

 \log(36+18+36)=1+\log(9)

 \log(90)=1+0,95

 1,95=1,95

 \log(1^2+3\cdot 1+36)=1+\log(1+3)

 \log(1+3+36)=1+\log(4)

 \log(40)=1+0,6

 1,6=1,6

En la comprobación de las dos soluciones obtenemos una igualdad, así que ambas son soluciones de la ecuación logarítmica.

 

Ejercicio 14

Resuelve la siguiente ecuación con logaritmos y exponentes:

 \log _2\left(16^x\right)=10+\log _2\left(4^x\right)

En este ejercicio tenemos una ecuación logarítmica y una ecuación exponencial a la vez, ya que la incógnita está en el exponente de una potencia y dentro de un logaritmo. Sin embargo, en este caso no es necesario saber la teoría de las ecuaciones exponenciales para poderla resolver.

Primero de todo, para tener la misma base en las dos potencias, convertiremos el 16 en una potencia de 4:

 \log _2\left(\left(4^2\right)^x\right)=10+\log _2\left(4^x\right)

 \log _2\left(4^{2x}\right)=10+\log _2\left(4^x\right)

En segundo lugar, aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia:

 2x\log _2 4=10+x\log _2 4

Ponemos los dos logaritmos en el mismo miembro, y los agrupamos porque tienen la misma base y el mismo argumento:

 2x\log _2 4-x\log _2 4=10

 x\log _2 4=10

Calculamos el logaritmo:

 x\cdot 2=10

Y aislamos la x:

 x=\cfrac{10}{2}

 \bm{x=5}

Por último, verificamos la solución obtenida:

 \log _2\left(16^5\right)=10+\log _2\left(4^5\right)

 \log _2\left(16^5\right)-\log _2\left(4^5\right)=10

\displaystyle \log _2\left(\frac{16^5}{4^5}\right)=10

\displaystyle \log _2\left(\frac{4^{10}}{4^5}\right)=10

\displaystyle \log _2 4^5=10

\displaystyle \log _2 2^{10}=10

 10=10

 

Ejercicio 15

Resuelve la siguiente ecuación con logaritmos y raíces:

 \log\left(\sqrt{3x+5}\right)+\log\left(\sqrt{x}\right)=1

En primer lugar, aplicamos la propiedad de la suma de dos logaritmos:

 \log\left(\sqrt{3x+5}\cdot \sqrt{x}\right)=1

Multiplicamos las dos raíces:

 \log\left(\sqrt{(3x+5)\cdot x}\right)=1

 \log\left(\sqrt{3x^2+5x}\right)=1

Utilizamos la fórmula matemática del logaritmo para eliminar el logaritmo de la ecuación:

\sqrt{3x^2+5x}=10^1

\sqrt{3x^2+5x}=10

De modo que ahora tenemos una ecuación irracional. Por lo tanto, para resolverla debemos elevar los dos miembros de la ecuación al cuadrado:

\left(\sqrt{3x^2+5x}\right)^2=10^2

Simplificamos la raíz cuadrada:

3x^2+5x=100

Y calculamos la ecuación de segundo grado resultante aplicando la fórmula general:

3x^2+5x-100=0

 \begin{aligned} x & = \cfrac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[2ex] & =\cfrac{-5  \pm \sqrt{5^2-4\cdot 3 \cdot (-100)}}{2 \cdot 3}  \\[2ex] & = \cfrac{-5 \pm \sqrt{25+1200}}{6}\\[2ex] & =\cfrac{-5 \pm \sqrt{1225}}{6} \\[1.5ex] & = \cfrac{-5 \pm 35}{6} = \begin{cases} \cfrac{-5 +35}{6} =\cfrac{30}{6}=5 \\[3ex] \cfrac{-5 -35}{6} =\cfrac{-40}{6}=\cfrac{-20}{3}\end{cases} \end{aligned}

Finalmente, comprobamos la veracidad de las dos soluciones sustituyendo sus valores en la ecuación logarítmica del enunciado:

 \log\left(\sqrt{3\cdot 5+5}\right)+\log\left(\sqrt{5}\right)=1

Operamos con la calculadora:

 \log 4,47 +\log 2,24 = 1

 \log 0,65 +0,35 = 1

 1 = 1

 \displaystyle \log\left(\sqrt{3\cdot \frac{-20}{3}+5}\right)+\log\left(\sqrt{\frac{-20}{3}}\right)=1

 \displaystyle \log\left(\sqrt{-15}\right)+\log\left(\sqrt{\frac{-20}{3}}\right)=1

No existen las raíces enteras de números negativos, por lo que no es solución.

En definitiva, la única solución de la ecuación logarítmica con raíces es x=5.

 

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