Inecuaciones de segundo grado (o inecuaciones cuadráticas)

Aquí te explicamos qué es una inecuación de segundo grado (o cuadrática) y cómo se resuelve. Encontrarás la explicación de este tipo de inecuaciones con un ejemplo resuelto por pasos y, finalmente, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de inecuaciones de segundo grado.

Índice

¿Qué son las inecuaciones de segundo grado (o cuadráticas)?

Las inecuaciones de segundo grado, o inecuaciones cuadráticas, son desigualdades algebraicas en las que incógnita está elevada al cuadrado.

La solución de una inecuación de segundo grado es un intervalo de números, a diferencia de las ecuaciones de segundo grado que únicamente tienen dos soluciones (como máximo).

Por ejemplo, la siguiente expresión algebraica es una inecuación de segundo grado, porque en lugar del signo igual tiene el signo de una desigualdad (<) y, además, la incógnita aparece una vez elevada al cuadrado:

$3x-4(5x+2)<7x^2-1$

Cómo resolver inecuaciones de segundo grado (o cuadráticas)

Para resolver una inecuación de segundo grado (o cuadrática) se deben hacer los siguientes pasos:

Operar con los términos de la inecuación hasta obtener solamente un término cuadrático, un término lineal y un término independiente.
Aplicar la fórmula general de la ecuación de segundo grado para hallar dos valores.
Dividir la recta numérica con los valores calculados en el paso 2. Se obtendrán tres tramos.
Evaluar un valor de cada tramo en la inecuación de segundo grado.
La solución de la inecuación de segundo grado son los tramos que cumplen con la desigualdad.

Para acabar de entender cómo se calculan las inecuaciones de segundo grado o cuadráticas, a continuación hemos resuelto paso a paso una inecuación de este tipo como ejemplo.

Ejemplo de inecuación de segundo grado (o cuadrática) resuelta

Vista la teoría sobre las inecuaciones de segundo grado, también conocidas como inecuaciones cuadráticas, vamos a explicar paso a paso la resolución de una inecuación de segundo grado a modo de ejemplo:

$x^2-x-6\ge 0$

En este caso no debemos hacer ninguna operación previa, porque no hay ni paréntesis ni fracciones. Entonces, igualamos la expresión de la inecuación a 0, y la resolvemos como si fuera una ecuación de segundo grado aplicando la fórmula general:

$x^2-x-6=0$

$\begin{aligned}x&=\cfrac{1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}=\\[1.5ex]&= \cfrac{1\pm \sqrt{25}}{2} = \cfrac{1\pm 5}{2}=\begin{cases}\cfrac{1+5}{2}=3\\[3ex]\cfrac{1-5}{2}=-2\end{cases}\end{aligned}$

Hemos obtenido los valores de x=3 y x=-2. Ahora debemos representar dichos valores en la recta numérica:

Una vez hemos representado en la recta los valores hallados, tenemos que comprobar qué tramo es la solución de la inecuación. Para ello, cogemos cualquier número de cada tramo, lo sustituimos en la inecuación, y comprobamos si cumple la inecuación o no.

Tramo x<-2

Evaluamos x=-3 en la inecuación:

$(-3)^2-(-3)-6\ge 0$

$6\ge 0$ ✅

Tramo -2<x<-3

Evaluamos x=0 en la inecuación:

$0^2-0-6\ge 0$

$-6\ \cancel{\ge } \ 0$ ❌

Tramo x>3

Evaluamos x=4 en la inecuación:

$4^2-4-6\ge 0$

$6\ge 0$ ✅

Si un número de un tramo cumple con la desigualdad, significa que todos los números de ese tramo también cumplen con la desigualdad. Por lo tanto, los tramos que cumplen con la inecuación de segundo grado son los extremos:

Como puedes ver, hemos representado los números con puntos cerrados, porque la inecuación tiene el signo ≥. Pero si la inecuación cuadrática hubiera tenido el signo >, deberíamos haber representado los puntos abiertos (los puntos no estarían incluidos).

Finalmente, debemos expresar la solución en forma de intervalo. El intervalo del tramo de la izquierda es (-∞,2], y el intervalo del tramo de la derecha corresponde a [3,+∞). De manera que la solución de la inecuación de segundo grado es:

$x \in (-\infty, -2] \ \cup \ [3,+\infty)$

Fíjate que para unir dos intervalos diferentes se utiliza el símbolo $\cup .$

Ejercicios resueltos de inecuaciones de segundo grado (o cuadráticas)

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado:

$x^2-3x-4 \le0$

Ver solución

En primer lugar, igualamos la expresión algebraica de la inecuación cuadrática a cero y resolvemos la ecuación resultante utilizando la fórmula general:

$x^2-3x-4 =0$

$\begin{aligned}x&=\cfrac{3\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\cdot 1}=\\[1.5ex]&= \cfrac{3\pm \sqrt{25}}{2} = \cfrac{3\pm 5}{2}=\begin{cases}\cfrac{3+5}{2}=4\\[3ex]\cfrac{3-5}{2}=-1\end{cases}\end{aligned}$

Aplicando la fórmula hemos obtenido 2 raíces, por lo que la recta se divide en 3 tramos. Entonces, comprobamos si se cumple la inecuación de segundo grado en cada tramo:

Tramo x<-1

Evaluamos x=-2 en la inecuación:

$(-2)^2-3\cdot(-2)-4\le0$

$6\ \cancel{\le} \ 0$ ❌

Tramo -1<x<4

Evaluamos x=0 en la inecuación:

$0^2-3\cdot0-4\le0$

$-4\le0$ ✅

Tramo x>4

Evaluamos x=5 en la inecuación:

$5^2-3\cdot5-4\le0$

$6\ \cancel{\le} \ 0$ ❌

El único tramo que cumple con la desigualdad cuadrática es el del medio:

En conclusión, el conjunto solución de la inecuación de segundo grado corresponde al siguiente intervalo:

$\bm{x \in [-1,4]}$

Ejercicio 2

Resuelve la siguiente inecuación cuadrática:

$x^2+x-2>0$

Ver solución

Primero de todo, igualamos la expresión de la inecuación a cero y resolvemos la ecuación resultante como si fuera una ecuación de segundo grado simple:

$x^2+x-2 =0$

$\begin{aligned}x&=\cfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\\[1.5ex]&= \cfrac{-1\pm \sqrt{9}}{2} = \cfrac{-1\pm 3}{2}=\begin{cases}\cfrac{-1+3}{2}=1\\[3ex]\cfrac{-1-3}{2}=-2\end{cases}\end{aligned}$

De la fórmula hemos obtenido 2 raíces de la igualdad, así que la recta real queda dividida en 3 tramos. Ahora miramos qué tramo cumple la inecuación de segundo grado del problema:

Tramo x<-2

Evaluamos x=-3 en la inecuación:

$(-3)^2-3-2 >0$

$4>0$ ✅

Tramo -2<x<1

Evaluamos x=0 en la inecuación:

$0^2-0-2 >0$

$-2\ \cancel{>} \ 0$ ❌

Tramo x>1

Evaluamos x=2 en la inecuación:

$(2)^2+2-2 >0$

$4>0$ ✅

Por lo tanto, el primer y el tercer tramo verifican la desigualdad cuadrática:

En resumen, la solución de la inecuación de segundo grado es el siguiente intervalo:

$\bm{x \in (-\infty,-2)\cup (1,+\infty)}$

Ejercicio 3

Calcula la siguiente inecuación de segundo grado:

$x^2+4x+4\geq 0$

Ver solución

Para resolver este tipo de inecuaciones, debemos igualar la expresión algebraica a 0 y hallar las raíces de la ecuación resultante:

$x^2+4x+4=0$

$\begin{aligned}x&=\cfrac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}=\\[1.5ex]&= \cfrac{-4\pm \sqrt{0}}{2}=-2\end{aligned}$

Hemos obtenido una única raíz de la ecuación. Ahora podríamos representar el 2 en la recta real y ver qué tramo cumple con la inecuación. Sin embargo, en este caso particular podemos darnos cuenta que siempre se cumple la inecuación cuadrática haciendo su factorización:

$(x+2)^2\geq 0$

En el primer miembro de la inecuación tenemos una expresión elevada al cuadrado, por lo que de ahí siempre obtendremos un número positivo o cero. En consecuencia, la desigualdad siempre se cumplirá, es decir, la solución de la inecuación de segundo grado son todos los números reales:

$\bm{x \in \mathbb{R} = (-\infty,+\infty)}$

Ejercicio 4

Soluciona la siguiente inecuación de segundo grado:

$2x^2-18\geq 0$

Ver solución

Primero de todo, igualamos la expresión matemática de la inecuación de segundo grado a cero:

$2x^2-18=0$

En este caso, hemos obtenido una ecuación de segundo grado incompleta, por lo que para resolverla basta con despejar la incógnita x y hacer la raíz cuadrada:

$2x^2=18$

$x^2=\cfrac{18}{2}$

$x^2=9$

$x^2=\pm 3$

Al obtener dos valores de la ecuación, la recta real queda dividida en 3 tramos. Así pues, comprobamos qué tramo cumple la inecuación cuadrática del problema:

Tramo x<-3

Evaluamos x=-4 en la inecuación:

$2(-4)^2-18\geq 0$

$14\geq0$ ✅

Tramo -3<x<3

Evaluamos x=0 en la inecuación:

$2\cdot 0^2-18\geq 0$

$-18 \ \cancel{\geq} \ 0$ ❌

Tramo x>3

Evaluamos x=4 en la inecuación:

$2\cdot 4^2-18\geq 0$

$14\geq 0$ ✅

Por lo tanto, los tramos que verifican la desigualdad de segundo grado son los extremos:

De modo que el intervalo solución de la inecuación cuadrática es:

$\bm{x \in (-\infty,-3]\cup [3,+\infty)}$

Ejercicio 5

Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado con paréntesis:

$x^2+2\left(2-x\right)<4\left(x-3\right)+8$

Ver solución

Lo primero que debemos hacer es aplicar la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis de la inecuación:

$x^2+4-2x<4x-12+8$

Ahora trasponemos todos los términos al lado izquierdo de la inecuación:

$x^2+4-2x-4x+12-8<0$

Agrupamos los términos con el mismo grado:

$x^2-6x+8<0$

Entonces, transformamos la inecuación en una igualdad y solucionamos la ecuación resultante:

$x^2-6x+8=0$

$\begin{aligned}x&=\cfrac{6\pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1\cdot 8}}{2\cdot 1}=\\[1.5ex]&= \cfrac{6\pm \sqrt{4}}{2} = \cfrac{6\pm 2}{2}=\begin{cases}\cfrac{6+2}{2}=4\\[3ex]\cfrac{6-2}{2}=2\end{cases}\end{aligned}$

Ahora comprobamos qué tramo verifica la inecuación de grado 2:

Tramo x<2

Evaluamos x=0 en la inecuación:

$0^2-6\cdot 0+8<0$

$8\ \cancel{<} \ 0$ ❌

Tramo 2<x<4

Evaluamos x=3 en la inecuación:

$3^2-6\cdot 3+8<0$

$-1< 0$ ✅

Tramo x>4

Evaluamos x=5 en la inecuación:

$5^2-6\cdot 5+8<0$

$3\ \cancel{<} \ 0$ ❌

De forma que solo cumple la inecuación el tramo intermedio:

Y, en definitiva, el intervalo que representa la solución de la inecuación de segundo grado es:

$\bm{x \in (2,4)}$

Ejercicio 6

Determina la solución de la siguiente inecuación cuadrática con paréntesis y corchetes:

$\left(x+3\right)^2+5x\leq 2\Bigl[6x-3\left(4-x\right)\Bigr]+7$

Ver solución

Primero de todo, operamos los paréntesis y los corchetes de la inecuación de segundo grado utilizando la propiedad distributiva y la fórmula del cuadrado de una suma (identidad notable):

$x^2+9+6x+5x\leq 2\Bigl[6x-12+3x\Bigr]+7$

$x^2+9+6x+5x\leq 12x-24+6x+7$

Movemos todos los monomios al lado izquierdo:

$x^2+9+6x+5x-12x+24-6x-7\leq 0$

Sumamos y restamos los términos semejantes:

$x^2-7x+26\leq0$

Transformamos la inecuación en una igualdad y aplicamos la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas:

$x^2-7x+26=0$

$x=\cfrac{7\pm \sqrt{(-7)^2-4\cdot 1\cdot 26}}{2\cdot 1}= \cfrac{7\pm \sqrt{-55}}{2} = \color{red}\bm{\times}$

Sin embargo, la ecuación de segundo grado no tiene solución (en un entorno real, la raíz cuadrada de un número negativo no existe), lo que significa que la función cuadrática no corta el eje de las abscisas. Y, por lo tanto, la función será o toda positiva o toda negativa.

Entonces, basta con evaluar un punto (el que quieras) en la inecuación para determinar si se cumple o no, porque o todos los puntos la cumplen o ningún punto la cumple. Nosotros en este caso hemos escogido x=0, ya que facilita los cálculos:

$0^2-7\cdot0+26\leq0$

$26\ \cancel{\leq} \ 0 \ \color{red}\bm{\times}$

De manera que ningún punto cumple con la inecuación, o dicho de otra forma, la inecuación de segundo grado no tiene ninguna solución.

Ejercicio 7

Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado con fracciones y paréntesis:

$\displaystyle\frac{3x^2+1}{2}+\frac{1}{3}\left(2x-4\right)>\frac{x^2-1}{4}$

Ver solución

Primero empleamos la propiedad distributiva para quitar el paréntesis de la inecuación:

$\displaystyle\frac{3x^2+1}{2}+\frac{2x}{3}-\frac{4}{3}>\frac{x^2-1}{4}$

En segundo lugar, debemos eliminar las fracciones de la inecuación cuadrática. Para ello, multiplicamos todos los términos de la inecuación por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores, que es 12:

$\displaystyle 12\cdot\frac{3x^2+1}{2}+12\cdot\frac{2x}{3}-12\cdot\frac{4}{3}>12\cdot\frac{x^2-1}{4}$

Y simplificamos las fracciones:

$6(3x^2+1)+4\cdot 2x-4\cdot4>3(x^2-1)$

Calculamos las multiplicaciones resultantes:

$18x^2+6+8x-16>3x^2-3$

Ahora trasponemos todos los términos al primer miembro de la inecuación:

$18x^2+6+8x-16-3x^2+3>0$

Sumamos y restamos los monomios del mismo grado:

$15x^2+8x-7>0$

Ahora convertimos la inecuación cuadrática en una igualdad y solucionamos la ecuación resultante:

$15x^2+8x-7=0$

$\begin{aligned}x&=\cfrac{-8\pm \sqrt{8^2-4\cdot 15\cdot (-7)}}{2\cdot 15}=\\[1.5ex]&= \cfrac{-8\pm \sqrt{484}}{30} = \cfrac{-8\pm 22}{30}=\\[2ex]&=\begin{cases}\cfrac{-8+22}{30}=\cfrac{14}{30}=\cfrac{7}{15}\\[3ex]\cfrac{-8-22}{3}=\cfrac{-30}{30}=-1\end{cases}\end{aligned}$

Y, por último, comprobamos qué tramo cumple la desigualdad cuadrática:

Tramo x<-1

Evaluamos x=-2 en la inecuación:

$15(-2)^2+8\cdot (-2)-7>0$

$37>0$ ✅

Tramo -1<x<7/15

Evaluamos x=0 en la inecuación:

$15\cdot 0^2+8\cdot 0-7>0$

$-7\ \cancel{>} \ 0$ ❌

Tramo x>7/15

Evaluamos x=1 en la inecuación:

$15\cdot 1^2+8\cdot1-7>0$

$16>0$ ✅

Por lo que los dos tramos de los extremos corroboran la inecuación de segundo grado:

Por lo tanto, la solución de la inecuación cuadrática expresada en forma de intervalo es la siguiente:

$\displaystyle\bm{(-\infty,-1)\cup \left(\frac{7}{15},+\infty\right)}}$

6 comentarios en “Inecuaciones de segundo grado (o cuadráticas)”

Aitor Pérez
29/11/2021 a las 11:36

me ha sido realmente útil, gracias por esta página que ayuda a gente como a mí muchas gracias

Responder
1. Ejercicios de Ecuaciones
  30/11/2021 a las 20:11
  
  ¡Me alegro de que te ayude Aitor!
Erika
13/09/2022 a las 12:03

Me ayudó a entender cada paso muchas gracias

Responder
1. Ejercicios de Ecuaciones
  15/09/2022 a las 18:39
  
  ¡Gracias a ti por el comentario Erika!
JESUS JARAMILLO
25/11/2022 a las 02:43

Excelente la explicacion los felicito muy didactico e ilustrativo

Responder
1. Ejercicios de Ecuaciones
  03/12/2022 a las 13:19
  
  ¡Muchas gracias Jesus!

¿Qué son las inecuaciones de segundo grado (o cuadráticas)?

Cómo resolver inecuaciones de segundo grado (o cuadráticas)

Ejemplo de inecuación de segundo grado (o cuadrática) resuelta

Ejercicios resueltos de inecuaciones de segundo grado (o cuadráticas)

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

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Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

6 comentarios en “Inecuaciones de segundo grado (o cuadráticas)”

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