▷ Problemas de sistemas de ecuaciones

En esta página te explicamos cómo se resuelven los problemas de sistemas de ecuaciones. También hemos resuelto 10 problemas de sistemas de ecuaciones paso a paso para que puedas practicar. Y, además, puedes dejarnos cualquier problema en los comentarios que te lo resolveremos.

Índice

Cómo resolver problemas de sistemas de ecuaciones

Para resolver un problema con un sistema de ecuaciones se deben hacer los siguientes pasos:

Identificar las incógnitas del problema.
Plantear las ecuaciones que forman el sistema del problema.
Resolver el sistema de ecuaciones.
Interpretar la solución obtenida del sistema de ecuaciones.

El último paso se refiere a que debemos comprobar que la solución hallada del sistema de ecuaciones realmente sea la solución del problema, ya que a veces el problema pregunta por un dato que es diferente del resultado numérico obtenido.

Lógicamente, para poder solucionar un problema de sistemas de ecuaciones, debes saber cómo resolver un sistema de ecuaciones. Si tienes alguna duda al respecto puedes consultar esta página enlazada, donde explicamos todos los métodos para calcular un sistema de ecuaciones y cuándo es mejor utilizar un método u otro.

Solucionamos tu problema de sistemas de ecuaciones

Si tienes algún problema con un sistema de ecuaciones y no sabes cómo resolverlo, nos lo puedes escribir en los comentarios, que lo resolveremos rápidamente.

Problemas resueltos de sistemas de ecuaciones

Para que puedas practicar, a continuación tienes la resolución de 10 ejercicios que corresponden a problemas con sistemas de ecuaciones. Los problemas están ordenados por dificultad, de manera que los primeros problemas son los más fáciles y los últimos los más difíciles.

Además, hemos resuelto todos los problemas paso a paso para que se entiendan lo mejor posible, pero si tienes alguna duda puedes preguntárnosla abajo en los comentarios.

Problema 1

La suma de dos números diferentes da como resultado 28. Y uno de esos números es el triple del otro. ¿Cuáles son esos dos números?

Ver solución

En este caso tenemos que averiguar el valor de dos números distintos, es decir, tenemos dos incógnitas diferentes:

$x=\text{n\'umero peque\~no}$

$y=\text{n\'umero grande}$

El enunciado del problema nos dice que ambos números sumados dan 28, por lo que una ecuación del sistema será:

$x+y=28$

Por otro lado, un número es el triple del otro, por tanto:

$3x=y$

De manera que el sistema de ecuaciones del problema es:

$\left.\begin{array}{l}x+y=28\\[2ex]3x=y\end{array}\right\}$

Para resolver el sistema de ecuaciones lineales del problema utilizaremos el método de sustitución. Porque la incógnita y ya está despejada en la segunda ecuación y solamente debemos sustituir su expresión en la otra ecuación:

$x+y=28 \quad \xrightarrow{y \ = \ 3x} \quad x+3x=28$

Resolvemos la ecuación de primer grado resultante:

$4x=28$

$x=\cfrac{28}{4}$

$x=7$

Y, finalmente, calculamos el valor de y:

$y=3\cdot7=21$

De modo que los dos números por los que preguntaba el problema son 7 y 21.

Problema 2

En un curso hay dos clases de alumnos: la clase A y la clase B. De ellas sabemos la siguiente información:

El número de alumnos de la clase B es el doble que el de la clase A
Si 10 alumnos de la clase A pasaran a la clase B, entonces la clase B tendría 7 veces más alumnos que la clase A.

¿Cuántos alumnos hay actualmente en cada clase?

Ver solución

En primer lugar, identificamos las incógnitas del problema, que son:

$x=\text{alumnos clase A}$

$y=\text{alumnos clase B}$

Luego planteamos las ecuaciones del sistema de ecuaciones:

$\left.\begin{array}{l}2x=y\\[2ex]7(x-10)=y\end{array}\right\}$

Y resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de igualación:

$y=y$

$2x=7(x-10)$

Operamos el paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

$2x=7x-70$

Despejamos la incógnita x:

$2x-7x=-70$

$-5x=-70$

$x=\cfrac{-70}{-5}$

$x=14$

Y, por último, hallamos el valor de la incógnita y:

$y=2\cdot14=28$

Por lo tanto, la clase A tiene 14 alumnos y la clase B 28 alumnos.

Problema 3

Un instituto regalará a cada uno de sus alumnos una libreta o un pack de bolígrafos. Además, cada alumno podrá decidir si prefiere la libreta o el pack de bolígrafos. Cada libreta cuesta 9€ y cada pack de bolígrafos 6€.

Sabiendo que el instituto tiene 3000 alumnos y se ha gastado en total 24000€, ¿cuántos alumnos han pedido la libreta y cuántos el pack de bolígrafos?

Ver solución

Lo primero que debemos hacer es identificar las dos incógnitas del problema:

$x=\text{n\'umero de libretas pedidas}$

$y=\text{n\'umero de packs de bol\'igrafos pedidos}$

En segundo lugar, debemos plantear las dos ecuaciones del problema. Nos dicen que en el instituto hay 3000 alumnos, por lo tanto, la suma de las libretas pedidas y de los packs de bolígrafos pedidos debe ser igual a 3000:

$x + y =3000$

Por otro lado, si el instituto se ha gastado 24000€ y cada libreta vale 9€ y cada pack de bolígrafos 6€, significa que se debe cumplir la siguiente igualdad:

$9x+6y=24000$

De forma que ya hemos encontrado el sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas correspondiente del problema:

$\left. \begin{array}{l} x + y =3000\\[2ex] 9x+6y=24000 \end{array} \right\}$

Utilizamos el método de sustitución para resolver este sistema:

$\left. \begin{array}{l} x + y =3000\\[2ex]9x+6y=24000\end{array} \right\}\begin{array}{l} \longrightarrow \ x=3000-y\\[2ex]& \end{array}$

$9(3000-y)+6y=24000$

$27000-9y+6y=24000$

$-9y+6y=-27000+24000$

$-3y = -3000$

$y=\cfrac{-3000}{-3}=1000$

Una vez hemos calculado la incógnita y, determinamos la incógnita x:

$x= 3000-1000 =2000$

En resumen, 2000 alumnos han pedido la libreta y 1000 alumnos han pedido el pack de bolígrafos.

Problema 4

En un parking hay coches y motos. Si en total hay 91 vehículos y 290 ruedas, ¿cuántos coches y cuántas motos hay en el parking?

Ver solución

Primero de todo, identificamos las 2 incógnitas del problema:

$x=\text{n\'umero de coches}$

$y=\text{n\'umero de motos}$

Ahora tenemos que plantear las ecuaciones del sistema del problema. El enunciado dice que en total hay 91 vehículos, por tanto:

$x+y=91$

Por otro lado, cada coche tiene 4 ruedas y cada moto 2 ruedas. Por lo tanto, si en total hay 290 ruedas, se debe cumplir la siguiente ecuación:

$4x+2y=290$

De forma que ya hemos encontrado el sistema de ecuaciones del problema con dos incógnitas:

$\left. \begin{array}{l}x+y=91\\[2ex]4x+2y=290\end{array} \right\}$

En este caso, usaremos el método de sustitución para solucionar el sistema lineal:

$\left. \begin{array}{l}x+y=91\\[2ex]4x+2y=290\end{array} \right\}\begin{array}{l} \longrightarrow \ x=91-y\\[2ex]& \end{array}$

$4(91-y)+2y=290$

$364-4y+2y=290$

$-4y+2y=-364+290$

$-2y=-74$

$y=\cfrac{-74}{-2}=37$

Una vez conocemos el valor de la incógnita y, calculamos la otra incógnita del sistema:

$x=91-37=54$

En conclusión, en el parking hay 54 coches y 37 motos.

Problema 5

Un número es 12 unidades superior a otro número. Pero si restamos 2 unidades a cada uno de ellos, entonces el primer número es 4 veces mayor que el segunda número. Encuentra qué números son.

Ver solución

En este problema debemos averiguar dos números diferentes, por lo que necesitamos dos incógnitas:

$x=\text{n\'umero grande}$

$y=\text{n\'umero peque\~no}$

El enunciado del problema dice que el primer número es 12 unidades superior al segundo, por tanto:

$x-12=y$

Asimismo, al restar dos unidades a ambos números, el primer número es el cuádruple del segundo, lo que algebraicamente se traduce en la siguiente ecuación

$x-2=4(y-2)$

De modo que el sistema de ecuaciones lineales de este problema es:

$\left.\begin{array}{l}x-12=y\\[2ex]x-2=4(y-2)\end{array}\right\}$

Para resolver el sistema de ecuaciones aplicaremos el método de sustitución. Porque la incógnita y ya está despejada en la primera ecuación y únicamente debemos sustituir su expresión en la otra ecuación:

$x-2=4(y-2) \quad \xrightarrow{y \ = \ x-12} \quad x-2=4(x-12-2)$

Resolvemos la ecuación de grado 1 resultante:

$x-2=4(x-14)$

$x-2=4x-56$

$x-4x=2-56$

$-3x=-54$

$x=\cfrac{-54}{-3}$

$x=18$

Y calculamos el valor de y:

$y=18-12=6$

En definitiva, la solución del problema de sistemas de ecuaciones son los números 18 y 6.

Problema 6

En un congreso asisten 60 personas. Si salen 3 hombres y entran 3 mujeres, el número de hombres sería un tercio del número de mujeres. ¿Cuántas mujeres y cuántos hombres hay en el congreso?

Ver solución

En primer lugar, identificamos las dos incógnitas del problema:

$x=\text{n\'umero de mujeres}$

$y=\text{n\'umero de hombres}$

El enunciado del problema dice que en total hay 60 personas, así que la suma del número de mujeres y de hombres debe ser equivalente a 60:

$x+y=60$

Si salen 3 hombres y entran 3 mujeres, el número de hombres en el congreso será la tercera parte que de mujeres, por tanto:

$x+3=3(y-3)$

De forma que el sistema de ecuaciones del problema es el siguiente:

$\left. \begin{array}{l}x+y=60\\[2ex]x+3=3(y-3)\end{array} \right\}$

Empleamos el método de sustitución para resolver este sistema:

$\left. \begin{array}{l}x+y=60\\[2ex]x+3=3(y-3)\end{array} \right\}\begin{array}{l} \longrightarrow \ x=60-y\\[2ex]& \end{array}$

$60-y+3=3(y-3)$

Resolvemos la ecuación con una sola incógnita obtenida:

$60-y+3=3y-9$

$-y-3y=-60-3-9$

$-4y =-72$

$y=\cfrac{-72}{-4}=18$

Y, por último, calculamos la incógnita x sustituyendo el valor encontrado:

$x=60-18=42$

Por lo tanto, en el congreso hay 42 mujeres y 18 hombres.

Problema 7

La suma de los precios de una calculadora científica y el de una carpeta es 27€. Sin embargo, al pasar por caja nos han hecho un descuento del 25% para la calculadora y un descuento del 30% para la carpeta, con lo que solamente hemos pagado 19,5€.

¿Cuál era el precio original de la calculadora y de la carpeta?

Ver solución

Como siempre, primero identificamos las dos incógnitas para resolver problema:

$x=\text{precio de la calculadora}$

$y=\text{precio de la carpeta}$

Si sumamos los precios originales de los dos objetos da 27, así que una ecuación del sistema será:

$x+y=27$

Y podemos obtener la otra ecuación del sistema a partir de los precios rebajados:

$(1-0,25)x+(1-0,30)y=19,5$

$0,75x+0,7y=19,5$

Por lo que el sistema de ecuaciones lineales del problema es el siguiente:

$\left. \begin{array}{l}x+y=27\\[2ex]0,75x+0,7y=19,5\end{array} \right\}$

Así pues, resolvemos el sistema con el método de sustitución:

$\left. \begin{array}{l}x+y=27\\[2ex]0,75x+0,7y=19,5\end{array} \right\}\begin{array}{l} \longrightarrow \ x=27-y\\[2ex]& \end{array}$

$0,75(27-y)+0,7y=19,5$

Resolvemos la ecuación lineal resultante:

$20,25-0,75y+0,7y=19,5$

$-0,75y+0,7y=19,5-20,25$

$-0,05y =-0,75$

$y=\cfrac{-0,75}{-0,05}=15$

Calculamos la otra incógnita del problema sustituyendo el valor hallado:

$x=27-15=12$

En definitiva, la calculadora costaba 12€ y la carpeta 15€.

Problema 8

Actualmente, la edad de un padre es 6 veces mayor que la de su hijo. Pero de aquí 20 años la edad del padre solo será el doble que la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?

Ver solución

Las dos incógnitas de este problema son los dos datos que queremos encontrar, esto es, la edad del hijo y la edad del padre.

$x=\text{edad del hijo}$

$y=\text{edad del padre}$

A día de hoy, el padre tiene 6 veces más años que el hijo, por tanto:

$6x=y$

Sin embargo, la relación entre sus edades habrá cambiado en un futuro. Para entender bien cómo expresar matemáticamente un cambio de edad hemos elaborado la siguiente tabla:

	Edad actual	Edad en un futuro (20 años)
Hijo	x	x+20
Padre	y	y+20

Así pues, el enunciado dice que de aquí 20 años la edad del padre será el doble que la edad del hijo, por tanto:

$2(x+20)=y+20$

$2x+40=y+20$

De forma que el sistema de ecuaciones de este problema es:

$\left.\begin{array}{l}6x=y\\[2ex]2x+40=y+20\end{array}\right\}$

Para calcular el sistema de ecuaciones aplicaremos el método de sustitución, ya que la incógnita y ya está despejada en la primera ecuación. Por lo que sustituimos su expresión en la otra ecuación:

$2x+40=y+20 \quad \xrightarrow{y \ = \ 6x} \quad 2x+40=6x+20$

Resolvemos la ecuación de primer grado con una sola incógnita:

$2x-6x=20-40$

$-4x=-20$

$x=\cfrac{-20}{-4}$

$x=5$

Y sustituimos el valor numérico de x en la expresión algebraica donde hemos despejado y:

$y=6\cdot 5=30$

Así que actualmente el hijo tiene 5 años y el padre 30 años.

Problema 9

El perímetro de un rectángulo mide 96 cm, y la base de dicho rectángulo es 7 veces mayor que su altura. ¿Cuál es el área del rectángulo?

Ver solución

Para poder determinar el área del rectángulo necesitamos saber sus dos dimensiones. Por tanto, las dos incógnitas de este problema son las longitudes de la base y de la altura del rectángulo:

$x=\text{base del rect\'angulo}$

$y=\text{altura del rect\'angulo}$

Los lados de un rectángulo son iguales dos a dos, por lo que la condición del perímetro la podemos expresar matemáticamente de la siguiente manera:

$2x+2y=96$

Por otra parte, la base del rectángulo es siete veces mayor que su altura, por lo tanto:

$x=7y$

De forma que el sistema de ecuaciones 2×2 de este problema es:

$\left.\begin{array}{l}x=7y\\[2ex]2x+2y=96\end{array}\right\}$

Para hallar la solución del sistema de ecuaciones usaremos el método de sustitución, ya que la incógnita x ya está despejada en la primera ecuación. Por lo que sustituimos su expresión en la otra ecuación:

$2x+2y=96 \quad \xrightarrow{x \ = \ 7y} \quad 2(7y)+2y=96$

$14y+2y=96$

$16y=96$

$y=\cfrac{96}{16}$

$y=6$

Para terminar de resolver el sistema calculamos el valor de x:

$x=7\cdot 6=42$

De modo que la base del rectángulo mide 42 cm y su altura 6 cm.

Pero el problema no nos pide cuánto miden las dimensiones del rectángulo, sino cuánto es su área. Así que tenemos que aplicar la fórmula del área de un rectángulo con los datos hallados:

$A=\cfrac{b\cdot h}{2}=\cfrac{42\cdot6}{2}=\bm{126} \ \mathbf{cm}^{\bm{2}}$

Problema 10

Estamos buscando un número entero compuesto por dos cifras que sumadas dan como resultado 9. Además, si sumamos 27 unidades al número obtenemos otro número cuyas cifras son opuestas al número original. ¿Cuál es el número que estamos buscando?

Ver solución

Primero de todo, debemos identificar las incógnitas que nos permitirán resolver el problema. En este caso, la x será la cifra que indica las decenas del número, y la y será la cifra que indica las unidades del número. Por lo que el número será xy.

$x=\text{decenas del n\'umero}$

$y=\text{unidades del n\'umero}$

El problema nos dice que el resultado de sumar las dos cifras del número es 9, por tanto:

$x+y=9$

Por otro lado, para poder encontrar la otra ecuación del problema hay que tener en cuenta que las decenas del número incógnita las podemos calcular multiplicando x por 10. De modo que el número que estamos buscando lo podemos calcular de la siguiente manera:

$\text{n\'umero} = 10x+y$

Además, el número opuesto al que estamos buscando es aquel que tiene y como decenas, y como unidades x. Por lo que el número opuesto lo podemos expresar matemáticamente de la siguiente manera:

$\text{n\'umero opuesto} = 10y+x$

En consecuencia, la frase «si sumamos 27 unidades al número obtenemos otro número cuyas cifras son opuestas al número original» corresponde a la siguiente ecuación:

$10x+y+27=10y+x$

Así pues. el sistema de ecuaciones de este problema tiene dos ecuaciones y dos incógnitas:

$\left.\begin{array}{l}x+y=9\\[2ex]10x+y+27=10y+x\end{array}\right\}$

Para hallar la solución del sistema de ecuaciones usaremos el método de sustitución. Así que aislamos la x de la primera ecuación:

$\left.\begin{array}{l}x+y=9\\[2ex]10x+y+27=10y+x\end{array}\right\}\begin{array}{l}\longrightarrow \ x=9-y\\[2ex]&\end{array}$

Sustituimos su expresión en la segunda ecuación:

$10(9-y)+y+27=10y+9-y$

$90-10y+y+27=10y+9-y$

$-10y+y-10y+y=-90-27+9$

$-18y=-108$

$y=\cfrac{-108}{-18}$

$y=6$

Calculamos el valor de x:

$x=9-6=3$

De modo que las decenas y las unidades del número que estamos buscando son 3 y 6 respectivamente. Por lo tanto, el número incógnita es 36.

Solucionamos tu problema de sistemas de ecuaciones

Si tienes algún problema con un sistema de ecuaciones y no sabes cómo resolverlo, nos lo puedes escribir en los comentarios, que lo resolveremos rápidamente.

Cómo resolver problemas de sistemas de ecuaciones

Problemas resueltos de sistemas de ecuaciones

Problema 1

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Problema 9

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