▷ Sistema de ecuaciones exponenciales

En este post primero encontrarás qué son los sistemas de ecuaciones exponenciales. Luego, te explicamos los dos métodos que existen para resolver un sistema de ecuaciones exponenciales y, finalmente, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de sistemas de ecuaciones exponenciales.

Índice

¿Qué es un sistema de ecuaciones exponenciales?

Un sistema de ecuaciones exponenciales es un sistema de dos o más ecuaciones en el que alguna incógnita aparece en el exponente de una potencia. Por lo tanto, para resolver un sistema de ecuaciones exponenciales se deben aplicar las propiedades de las potencias.

Evidentemente, para poder calcular sistemas de ecuaciones exponenciales es necesario que sepas resolver todos los tipos de ecuaciones exponenciales. De modo que antes de seguir te recomendamos que le eches un vistazo al enlace, donde, además, encontrarás las propiedades de las potencias que se utilizan para resolver los sistemas de ecuaciones exponenciales.

Cómo resolver un sistema de ecuaciones exponenciales

Vista la definición de sistema de ecuaciones exponenciales, vamos a ver cómo se soluciona este tipo de sistema de ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones exponenciales se puede resolver de dos maneras diferentes dependiendo del caso:

Si los dos miembros de una ecuación exponencial del sistema están formados por una sola potencia con la misma base, se igualan sus exponentes. De este modo se transforma el sistema de ecuaciones exponenciales en un sistema de ecuaciones lineales y se puede resolver con cualquier método (sustitución, reducción, igualación o gráfico).
Si no se pueden igualar los exponentes, se deben aplicar dos cambios de variables (uno para cada incógnita) para así convertir el sistema de ecuaciones exponenciales en un sistema lineal y poderlo resolver. Luego se tendrán que deshacer los cambios de variables.

El primer método es mucho más sencillo de aplicar, por lo que te recomiendo que siempre intentes utilizar ese si se puede.

Para que puedas ver cómo se aplican los dos métodos, a continuación hemos resuelto paso a paso un sistema de ecuaciones exponenciales con cada método a modo de ejemplo.

Igualando exponentes

En este apartado vamos a solucionar un sistema de ecuaciones exponenciales igualando los exponentes de sus ecuaciones para que veas cómo se hace:

$\left.\begin{array}{l}2^{x-y}=4 \\[2ex]5^{2x+y}=5\end{array} \right\}$

En la segunda ecuación exponencial del sistema ya se ve claramente que las potencias tienen la misma base. Por otro lado, el 4 es el cuadrado de 2, por lo tanto, podemos transformarlo en una potencia de 2:

$\left.\begin{array}{l}2^{x-y}=2^2 \\[2ex]5^{2x+y}=5^1\end{array} \right\}$

Ahora en el sistema tenemos dos ecuaciones, y cada una tiene una potencia con la misma base en sus miembros. De manera que podemos igualar los exponentes de cada ecuación:

$\left.\begin{array}{l}x-y=2 \\[2ex]2x+y=1\end{array} \right\}$

Ten en cuenta que solamente se pueden igualar los exponentes de una ecuación si hay una única potencia en cada lado.

$6^{3x-2y}=6^5 \quad \longrightarrow \quad 3x-2y=5$

Por contra, no se pueden igualar los exponentes si en una lado hay más de una potencia:

$\color{red}\bm{\times}\color{black} \ 6^{3x} -6^{2y}=6^5 \quad \longrightarrow \quad 3x-2y\neq 5 \ \color{red}\bm{\times}$

De esta forma hemos podido transformar un sistema no lineal formado por ecuaciones exponenciales en un sistema de ecuaciones lineales. Así que para resolverlo puedes emplear el método que quieras (sustitución, reducción, igualación o gráfico), pero en este caso lo resolveremos con el método de reducción porque los coeficientes de las incógnitas y son opuestos y, por tanto, se simplifican mucho los cálculos.

Por lo que sumamos las dos ecuaciones del sistema:

$\begin{array}{crrcr} &x&-y&=&2\\[1.1ex] +&2x&+y&=&1 \\ \hline &3x&&=&3\end{array} \right\}$

Y resolvemos la ecuación de primer grado resultante:

$3x=3$

$x=\cfrac{3}{3}$

$x=1$

Una vez conocemos el valor de x, sustituimos dicho valor en cualquier ecuación para hallar el valor de y:

$x-y = 2 \quad \xrightarrow{x \ = \ 1} \quad 1 -y =2$

$1-2=y$

$-1=y$

En resumen, la solución del sistema de ecuaciones exponenciales es:

$\bm{x=1 \qquad y=-1}$

Cambios de variables

Como hemos comentado en la explicación de cómo se resuelven los sistemas de ecuaciones exponenciales, no siempre se pueden igualar los exponentes de las ecuaciones. En tal caso, se deben hacer dos cambios de variables: uno para la incógnita x, y otro para la incógnita y.

Así pues, veamos cómo calcular un sistema de ecuaciones exponenciales haciendo cambios de variables mediante un ejemplo:

$\left.\begin{array}{l}3^x-5^{y+1}=2 \\[2ex] 3^{x-1}-5^y=4\end{array} \right\}$

En este sistema de ecuaciones exponenciales no podemos igualar los exponentes, ya que las ecuaciones tienen potencias con diferente base. Por lo tanto, tendremos que hacer dos cambios de variables.

Pero antes tenemos que aplicar las propiedades de las potencias para que en el sistema únicamente haya dos potencias:

$\left.\begin{array}{l}3^x-5^{y}\cdot 5^1=2 \\[2ex] \displaystyle 3^{x}\cdot 3^{-1}-5^y=4\end{array} \right\}\ \left.\begin{array}{l}3^x-5^{y}\cdot 5=2 \\[2ex] \displaystyle 3^{x}\cdot \frac{1}{3}-5^y=4\end{array} \right\}$

Ahora hacemos dos cambios de variables, uno para cada potencia con incógnita:

$a=3^x \qquad b=5^y$

Por lo que el sistema de ecuaciones queda de la siguiente manera:

$\left.\begin{array}{l}a-b\cdot 5=2 \\[2ex] \displaystyle a\cdot \frac{1}{3}-b=4\end{array} \right\}$

Y resolvemos el sistema de ecuaciones lineales con el método de sustitución. Para ello, despejamos la variable a de la primera ecuación:

$\left.\begin{array}{l}a-b\cdot 5=2 \\[2ex] \displaystyle a\cdot \frac{1}{3}-b=4\end{array} \right\}\begin{array}{l}\longrightarrow \ a=2+5b \\[2ex] \displaystyle \vphantom{\frac{1}{3}} \end{array}$

Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación:

$(\displaystyle 2+5b) \cdot \frac{1}{3}-b=4$

Resolvemos la ecuación de primer grado con fracciones resultante:

$\displaystyle 3\cdot(2+5b) \cdot \frac{1}{3}-3\cdot b=3\cdot 4$

$2+5b-3b=12$

$5b-3b=12-2$

$2b=10$

$b=\cfrac{10}{2}$

$b=5$

Y hallamos el valor de la variable auxiliar a sustituyendo el valor obtenido en la expresión donde hemos despejado a:

$a=2+5\cdot 5 = 27$

Por último, tenemos que deshacer los cambios de variables para encontrar los valores de las incógnitas x e y:

$a=3^x$

$27=3^x$

$3^3=3^x$

$x=3$

$b=5^y$

$5=5^y$

$5^1=5^y$

$y=1$

En definitiva, la solución del sistema con ecuaciones exponenciales es:

$\bm{x=3 \qquad y=1}$

Ahora que ya sabes solucionar un sistema de ecuaciones exponenciales, puede que te interese aprender a calcular sistemas de ecuaciones logarítmicas, ya que los logaritmos y las potencias están muy relacionados. Por eso te dejamos este enlace donde explicamos cómo resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas paso a paso y, además, encontrarás ejercicios resueltos de este tipo de sistemas.

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones exponenciales

Una vez hemos visto toda la teoría de los sistemas de ecuaciones exponenciales, te dejamos con varios ejercicios resueltos paso a paso de sistemas de ecuaciones exponenciales para que puedas practicar y así acabar de aprender cómo se calculan.

👇👇👇¡Recuerda que puedes preguntarnos cualquier duda que tengas sobre la resolución de cualquier sistema de ecuaciones exponenciales en los comentarios!👇👇👇

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:

$\left.\begin{array}{l}2^{6x-2y}=16 \\[2ex] 3^{y-x}=9\end{array} \right\}$

Ver solución

Los términos independientes 16 y 9 corresponden a potencias de 2 y de 3 respectivamente, por lo tanto, los expresamos en forma de potencia para luego poder igualar los exponentes:

$\left.\begin{array}{l}2^{6x-2y}=2^4 \\[2ex] 3^{y-x}=3^2\end{array} \right\}$

En segundo lugar, igualamos los exponentes de cada ecuación:

$\left.\begin{array}{l}6x-2y=4 \\[2ex]y-x=2\end{array} \right\}$

Y solucionamos el sistema de ecuaciones lineales obtenido aplicando el método de sustitución. Despejamos la variable y de la segunda ecuación:

$\left.\begin{array}{l}6x-2y=4 \\[2ex]y-x=2\end{array} \right\}\begin{array}{l} \\[2ex] \longrightarrow \ y=2+x\end{array}$

Sustituimos la expresión algebraica hallada en la otra ecuación y la resolvemos:

$6x-2(2+x)=4$

$6x-4-2x=4$

$6x-2x=4+4$

$4x=8$

$x=\cfrac{8}{4}$

$x=2$

Y, una vez sabemos cuánto vale x, calculamos el valor de y:

$y=2+2= 4$

En resumen, la solución del sistema de ecuaciones exponenciales es:

$\bm{x=2 \qquad y=4}$

Ejercicio 2

Calcula el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:

$\left.\begin{array}{l}7^x\cdot 49^y=7^9\\[2ex]7x-3y=-5\end{array}\right\}$

Ver solución

El número 49 es el cuadrado del número 7, así que aplicamos las propiedades de las potencias para transformar la primera ecuación:

$\left.\begin{array}{l}7^x\cdot\left(7^2\right)^y=7^9\\[2ex]7x-3y=-5\end{array}\right\}\ \left.\begin{array}{l}7^x\cdot 7^{2y}=7^9\\[2ex]7x-3y=-5\end{array}\right\}\ \left.\begin{array}{l}7^{x+2y}=7^9\\[2ex]7x-3y=-5\end{array}\right\}$

En este problema, solamente necesitamos igualar los exponentes de la primera ecuación del sistema, ya que la segunda ecuación es de primer grado:

$\left.\begin{array}{l}x+2y=9\\[2ex]7x-3y=-5\end{array} \right\}$

Ahora calculamos el sistema de ecuaciones lineales obtenido aplicando el método de sustitución. Por lo que despejamos la variable x de la primera ecuación:

$\left.\begin{array}{l}x+2y=9\\[2ex]7x-3y=-5\end{array} \right\}\begin{array}{l} \longrightarrow \ x=9-2y \\[2ex] & \end{array}$

Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación:

$7(9-2y)-3y=-5$

$63-14y-3y=-5$

$-14y-3y=-5-63$

$-17y=-68$

$y=\cfrac{-68}{-17}$

$y=4$

Y, finalmente, determinamos el valor de la incógnita x:

$x=9-2\cdot 4 = 1$

En conclusión, la solución del sistema de ecuaciones exponenciales es:

$\bm{x=1 \qquad y=4}$

Ejercicio 3

Soluciona el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:

$\left.\begin{array}{l}2^{x+3}+6^y=7 \\[2ex] 4\cdot2^x+3\cdot6^{y-2}=1\end{array}\right\}$

Ver solución

En el sistema de ecuaciones exponenciales de este ejercicio no podemos igualar los exponentes, porque las ecuaciones tienen potencias con bases distintas. Por lo tanto, primero aplicamos las propiedades del producto y el cociente de dos potencias:

$\left.\begin{array}{l}2^{x}\cdot 2^3+6^y=7 \\[2ex] \displaystyle 4\cdot 2^x+3\cdot \frac{6^y}{6^{2}}=1\end{array}\right\}$

$\left.\begin{array}{l}2^{x}\cdot 8+6^y=7 \\[2ex] \displaystyle 4\cdot 2^x+3\cdot \frac{6^y}{36}=1\end{array}\right\}$

$\left.\begin{array}{l}2^{x}\cdot 8+6^y=7 \\[2ex] \displaystyle 4\cdot 2^x+\frac{6^y}{12}=1\end{array}\right\}$

Ahora aplicamos un cambio de variable para cada incógnita:

$a=2^x \qquad b=6^y$

Así que el sistema de ecuaciones queda:

$\left.\begin{array}{l}8a+b=7 \\[2ex] \displaystyle 4a+\frac{b}{12}=1\end{array}\right\}$

Y resolvemos el sistema de ecuaciones resultante con el método de sustitución. Para ello, despejamos la variable b de la primera ecuación:

$\left.\begin{array}{l}8a+b=7\\[2ex]\displaystyle 4a+\frac{b}{12}=1\end{array}\right\}\begin{array}{l}\longrightarrow \ b=7-8a \\[2ex] \displaystyle \vphantom{\frac{1}{3}} \end{array}$

Sustituimos la expresión conseguida en la otra ecuación:

$\displaystyle 4a+\frac{7-8a}{12}=1$

Solucionamos la ecuación de primer grado con denominadores:

$\displaystyle 12\cdot 4a+12\cdot\frac{7-8a}{12}=12\cdot1$

$48a+7-8a=12$

$48a-8a=12-7$

$40a=5$

$a=\cfrac{5}{40}$

$a=\cfrac{1}{8}$

Y luego calculamos el valor de la variable auxiliar b:

$b=7-8\cdot\cfrac{1}{8}=6$

Finalmente, debemos deshacer los cambios de variables para averiguar los valores de las incógnitas x e y:

$a=2^x$

$\cfrac{1}{8}=2^x$

$\cfrac{1}{2^3}=2^x$

$2^{-3}=2^x$

$x=-3$

$b=6^y$

$6=6^y$

$6^1=6^y$

$y=1$

Así pues, la solución del sistema con ecuaciones exponenciales es:

$\bm{x=-3 \qquad y=1}$

Ejercicio 4

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales con dos incógnitas:

$\left.\begin{array}{l}4^x+3^{y-1}=19\\[2ex]2^{x+3}-3^{y+1}=5\end{array}\right\}$

Ver solución

En el sistema de ecuaciones exponenciales de este problema no podemos igualar los exponentes, porque las ecuaciones no tienen potencias con la misma base. Así que primero aplicamos las propiedades de la potenciación para simplificar el sistema:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\left(2^2\right)^x+\frac{3^y}{3^1}=19\\[3ex]2^x\cdot2^3-3^y\cdot3^1=5\end{array}\right\}$

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 2^{2x}+\frac{3^y}{3}=19\\[3ex]2^x\cdot8-3^y\cdot3=5\end{array}\right\}$

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle \left(2^x\right)^2+\frac{3^y}{3}=19\\[3ex]2^x\cdot8-3^y\cdot3=5\end{array}\right\}$

Ahora hacemos los siguientes 2 cambios de variables:

$a=2^x \qquad b=3^y$

Y el sistema de ecuaciones queda:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle a^2+\frac{b}{3}=19\\[3ex]8a-3b=5\end{array}\right\}$

En este caso hemos obtenido un sistema de ecuaciones no lineal, ya que la variable a está elevada a la 2. Pero igualmente lo podemos resolver mediante el método de sustitución. Para ello, despejamos la variable b de la primera ecuación:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle a^2+\frac{b}{3}=19\\[3ex]8a-3b=5\end{array}\right\}\begin{array}{l}\longrightarrow \ \displaystyle \frac{b}{3}=19-a^2 \ \longrightarrow b=57-3a^2 \\[3ex] \displaystyle \vphantom{\frac{1}{3}} \end{array}$

Sustituimos la expresión hallada en la segunda ecuación:

$8a-3(57-3a^2)=5$

$8a-171+9a^2=5$

$8a-171+9a^2-5=0$

$9a^2+8a-176=0$

Resolvemos la ecuación de segundo grado aplicando la fórmula general:

$\begin{aligned} a&= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\[2ex] & =\cfrac{-8\pm \sqrt{8^2-4\cdot 9 \cdot (-176)}}{2\cdot 9}= \\[2ex] & =\cfrac{-8\pm \sqrt{64-6336}}{2\cdot 9} \\[2ex]& \cfrac{-8 \pm \sqrt{6400}}{18}= \\[1.5ex] & =\cfrac{-8 \pm 80}{18} = \begin{cases} \cfrac{-8+80}{18}=\cfrac{72}{18} =4\\[3ex] \cfrac{-8-80}{18}=\cfrac{-88}{18} =-\cfrac{44}{9}\end{cases} \end{aligned}$

Ahora tenemos que calcular el valor de b por cada valor de a encontrado:

$a=4$

$b=57-3\cdot 4^2=9$

$a=-\cfrac{44}{9}$

$\displaystyle b=57-3\cdot\left(-\frac{44}{9}\right)^2$

Calculamos con la calculadora:

$b=-14,7$

Sin embargo, el valor de b no puede ser negativo, ya que entonces el valor de 3^y también tendría que ser negativo, y matemáticamente una potencia no puede ser negativa. En consecuencia, la única solución válida es a=4 y b=9.

Así pues, deshacemos los cambios de variables:

$a=2^x$

$4=2^x$

$2^2=2^x$

$x=2$

$b=3^y$

$9=3^y$

$3^2=3^y$

$y=2$

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones exponenciales tiene una única solución, que es:

$\bm{x=2 \qquad y=2}$

Ejercicio 5

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con raíces:

$\left.\begin{array}{l}4^{x-1}=\sqrt{2^{y+2}}\\[2ex]\sqrt[x]{3^y}=9^{x-2}\end{array}\right\}$

Ver solución

Lo primero que debemos hacer es convertir las raíces en potencias:

$\left.\begin{array}{l}4^{x-1}=2^{\frac{y+2}{2}}\\[2ex]3^{\frac{y}{x}}=9^{x-2}\end{array}\right\}$

Convertimos el 4 en una potencia de 2 y el 9 en una potencia de 3:

$\left.\begin{array}{l}\left(2^2\right)^{x-1}=2^{\frac{y+2}{2}}\\[2ex]3^{\frac{y}{x}}=\left(3^2\right)^{x-2}\end{array}\right\}$

$\left.\begin{array}{l}2^{2x-2}=2^{\frac{y+2}{2}}\\[2ex]3^{\frac{y}{x}}=3^{2x-4}\end{array}\right\}$

Igualamos los exponentes de cada ecuación:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 2x-2={\frac{y+2}{2}}\\[3ex]\displaystyle\frac{y}{x}=2x-4\end{array}\right\}$

Ahora debemos resolver el sistema de ecuaciones con fracciones, para ello, utilizaremos el método de sustitución. Por lo que despejamos la variable y de la segunda ecuación:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 2x-2={\frac{y+2}{2}}\\[3ex]\displaystyle\frac{y}{x}=2x-4\end{array}\right\}\left.\begin{array}{l}\\[3ex]\longrightarrow \ y=2x^2-4x\end{array}\right\}$

Sustituimos la expresión cuadrática obtenida en la primera ecuación:

$\displaystyle2x-2=\frac{2x^2-4x+2}{2}}$

Multiplicamos todos los términos de la ecuación por 2 para quitar la fracción de la ecuación:

$\displaystyle2\cdot 2x-2\cdot2=2\cdot{\frac{2x^2-4x+2}{2}}$

$4x-4=2x^2-4x+2$

Pasamos todos los términos al primer miembro y agrupamos los que son del mismo grado:

$4x-4-2x^2+4x-2=0$

$-2x^2+8x-6=0$

Resolvemos la ecuación cuadrática con la fórmula general:

$\begin{aligned} x&= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\[2ex] & =\cfrac{-8\pm \sqrt{8^2-4\cdot (-2) \cdot (-6)}}{2\cdot (-2)}= \\[2ex] & =\cfrac{-8\pm \sqrt{64-48}}{-4} \\[2ex]& \cfrac{-8 \pm \sqrt{16}}{-4}= \\[1.5ex] & =\cfrac{-8 \pm 4}{-4} = \begin{cases}\cfrac{-8+4}{-4}=\cfrac{-4}{-4} =1\\[3ex]\cfrac{-8-4}{-4}=\cfrac{-12}{-4} =3\end{cases} \end{aligned}$