▷ Método de sustitución

En este post encontrarás la explicación de cómo se resuelven los sistemas de ecuaciones por el método de sustitución. Además, podrás practicar con varios ejercicios de sistemas resueltos paso a paso por el método de sustitución.

Índice

¿Qué es el método de sustitución?

El método de sustitución es un método que sirve para resolver sistemas de ecuaciones, este método se basa en despejar una incógnita de una ecuación del sistema y sustituir su expresión en la otra ecuación (en el siguiente apartado veremos exactamente cómo se hace).

Sin embargo, existen más métodos para resolver un sistema de ecuaciones: el método de reducción, que consiste en sumar las dos ecuaciones del sistema, el método de igualación, que se basa en igualar la misma incógnita de las dos ecuaciones, y el método gráfico, que sirve para averiguar la solución del sistema representándolo en una gráfica. Si estás más interesad@ en estos otros métodos, puedes buscar la explicación de cada uno de ellos en esta web.

Cómo resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones con el método de sustitución se deben seguir los siguientes pasos:

Despejar una incógnita de una ecuación del sistema.
Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación del sistema.
Hallar el valor de una incógnita resolviendo la ecuación del paso anterior.
Sustituir el valor obtenido en la ecuación del paso 1.
Calcular el valor de la otra incógnita.

Solo leyendo la teoría sobre el método de sustitución es bastante difícil entender cómo se aplica este método. Así que, a continuación, hemos resuelto paso a paso un sistema de ecuaciones lineales con el método de sustitución para que lo comprendas mejor.

Ejemplo de un sistema de ecuaciones resuelto por el método de sustitución

Así pues, vamos a explicar paso a paso la resolución de un sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución a modo de ejemplo:

$\left. \begin{array}{l} x + y = 5 \\[2ex] 2x - 2y = 6 \end{array} \right\}$

Lo primero que debemos hacer es despejar una incógnita del sistema de ecuaciones. Puedes despejar cualquier incógnita de cualquier ecuación. En este caso despejaremos la x de la primera ecuación:

$\left. \begin{array}{l} x + y = 5 \\[2ex] 2x - 2y = 6 \end{array} \right\} \left. \begin{array}{l} \longrightarrow \ x = 5-y \\[2ex] & \end{array}$

Truco: es mejor despejar una incógnita que tenga como coeficiente 1 o -1, para así no tener que hacer operaciones con fracciones. Por ejemplo, en este caso el coeficiente de la incógnita x de la primera ecuación es 1, por eso hemos despejado esta incógnita.

En segundo lugar, tenemos que sustituir la expresión obtenida en el paso anterior en la otra ecuación. Es decir, ahora tenemos que sustituir la x de la otra ecuación por la expresión 5-y, ya que x=5-y.

$2x-2y = 6 \quad \xrightarrow{x \ = \ 5-y} \quad 2(5-y)-2y=6$

De esta forma hemos conseguido tener una ecuación de primer grado con una única incógnita, así que la podemos resolver como una ecuación simple. Para ello, eliminamos el paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

$2\cdot 5-2\cdot y-2y=6$

$10-2y-2y=6$

Pasamos los términos con incógnita al primer miembro de la ecuación y los términos sin incógnita al otro miembro de la ecuación:

$-2y -2y = -10 +6$

Sumamos y restamos los términos de cada lado:

$-4y = -4$

Y despejamos la incógnita y:

$y = \cfrac{-4}{-4}$

$y=1$

Una vez conocemos el valor de la incógnita y, debemos sustituir dicho valor en la expresión donde hemos despejado la incógnita x:

$x = 5-y \quad \xrightarrow{y \ = \ 1} \quad x=5-1$

Y, finalmente, calculamos el valor numérico de la incógnita x:

$x=5-1=4$

Por lo tanto, la solución de sistema de ecuaciones lineales es:

$\bm{x = 4\qquad y=1}$

Aunque no es necesario hacerlo, se puede comprobar que el sistema de ecuaciones está bien resuelto sustituyendo la solución obtenida en el sistema de ecuaciones original:

$\left. \begin{array}{l}x+y=5\\[2ex]2x-2y=6\end{array} \right\} \xrightarrow{x=4 \ y=1} \left. \begin{array}{l}4+1=5\\[2ex] 2\cdot 4-2\cdot1=6\end{array} \right\} \left. \begin{array}{l} 5=5\\[2ex]6=6\end{array} \right\}$

Hemos obtenido una igualdad en las dos ecuaciones del sistema, por lo que la solución es correcta. ✅

Ejercicios resueltos por el método de sustitución

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución:

$\left. \begin{array}{l} x + 3y = 4 \\[2ex] 2x - y = 1 \end{array} \right\}$

Ver solución

En primer lugar, despejamos la incógnita x de la primera ecuación del sistema:

$\left. \begin{array}{l} x + 3y = 4 \\[2ex] 2x - y = 1 \end{array} \right\} \left. \begin{array}{l} \longrightarrow \ x = 4-3y \\[2ex] & \end{array} }$

Luego sustituimos la expresión algebraica hallada en la otra ecuación:

$2x -y =1 \quad \xrightarrow{x \ = \ 4 -3y}\quad 2(4-3y)-y=1$

Solucionamos la ecuación lineal resultante:

$2(4-3y)-y=1$

$8-6y-y=1$

$-6y-y=-8+1$

$-7y=-7$

$y=\cfrac{-7}{-7}$

$y=1$

Y, finalmente, calculamos el valor de la incógnita x sustituyendo el valor hallado de y en la otra ecuación:

$x = 4-3y \quad \xrightarrow{y \ = \ 1} \quad x = 4-3\cdot 1 =1$

De manera que la solución del sistema de ecuaciones lineales es:

$\bm{x=1\qquad y=1}$

Ejercicio 2

Calcula el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

$\left. \begin{array}{l} 2x- 3y = 5 \\[2ex] 5x + y = 4 \end{array} \right\}$

Ver solución

En este problema despejaremos la incógnita y de la segunda ecuación para así no tener que hacer cálculos con fracciones:

$\left.\begin{array}{l}2x-3y=5\\[2ex]5x+y=4\end{array}\right\}\left.\begin{array}{l}\\[2ex]\longrightarrow \ y=4-5x\end{array}$

Después sustituimos la expresión matemática obtenida en la otra ecuación:

$2x -3y =5\quad \xrightarrow{y \ = \ 4 -5x}\quad 2x -3(4-5x)=5$

Resolvemos la ecuación de primer grado resultante:

$2x -3(4-5x)=5$

$2x -12+15x=5$

$2x +15x=+12+5$

$17x=17$

$x=\cfrac{17}{17}$

$x=1$

Y, por último, determinamos el valor de la otra incógnita del sistema sustituyendo el valor numérico de x en la ecuación del principio:

$y = 4-5x \quad \xrightarrow{x \ = \ 1} \quad y = 4-5\cdot 1=-1$

En definitiva, la solución del sistema de ecuaciones resuelto por el método de sustitución es:

$\bm{x=1\qquad y=-1}$

Ejercicio 3

Determina la solución del siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de sustitución:

$\left. \begin{array}{l}7x+8y=23\\[2ex]3x+2y=7\end{array} \right\}$

Ver solución

En este ejercicio es igual qué incógnita despejemos porque tendremos fracciones de cualquier manera. Así que despejaremos la x de la segunda ecuación:

$\left.\begin{array}{l}7x+8y=23\\[2ex]3x+2y=7\end{array}\right\}\left.\begin{array}{l}\\[2ex]\displaystyle\longrightarrow \ 3x = 7-2y\ \longrightarrow \ x = \frac{7-2y}{3} \end{array}$

Sustituimos la expresión fraccionaria obtenida en la otra ecuación del sistema:

$\displaystyle 7x + 8y = 23 \quad \xrightarrow{x \ = \ \frac{7-2y}{3}}\quad 7\left(\frac{7-2y}{3}\right)+8y=23$

$\displaystyle\frac{7\cdot7-7\cdot2y}{3}\right)+8y=23$

$\displaystyle\frac{49-14y}{3}\right)+8y=23$

Hemos obtenido una ecuación de primer grado con fracciones. Así que para resolverla debemos multiplicar cada término de la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores, que en este caso es 3:

$3 \cdot \cfrac{49-14y}{3}+3 \cdot 8y= 3\cdot 23$

Simplificamos la fracción de la ecuación:

$49-14y+24y= 69$

Y solucionamos la ecuación de primer grado sin fracciones:

$-14y+24y= -49+69$

$10y=20$

$y=\cfrac{20}{10}$

$y=2$

Y, para terminar, calculamos el valor de la incógnita x sustituyendo el valor numérico halldo en la ecuación del principio:

$x = \cfrac{7-2y}{3} \quad \xrightarrow{y \ = \ 2}\quad x=\cfrac{7-2\cdot 2}{3}=\cfrac{7-4}{3}= \cfrac{3}{3} =1$

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones lineales es:

$\bm{x=1\qquad y=2}$

Ejercicio 4

Determina, si tiene, la solución del siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución:

$\left. \begin{array}{l}3x-2y=0\\[2ex]6x-4y=-1\end{array} \right\}$

Ver solución

En este ejercicio es bastante importante qué incógnita despejamos primero, ya que si despejamos la y de la primera ecuación nos ahorramos tener que operar con fracciones:

$\left.\begin{array}{l}3x-2y=0\\[2ex]6x-4y=-1\end{array}\right\}\left.\begin{array}{l}\displaystyle\longrightarrow \ 3x=2y \longrightarrow \ y=\frac{3x}{2}\\[2ex] \vphantom{\Bigl)}\end{array}$

Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación:

$\displaystyle 6x-4y=-1\quad\xrightarrow{y \ = \ \frac{3x}{2}}\quad 6x-4\cdot \frac{3x}{2}=-1$

Simplificamos la fracción resolviendo el producto:

$6x-2\cdot 3x=-1$

$6x-6x=-1$

Agrupamos términos semejantes:

$0=-1$

Sin embargo, en este caso llegamos a una igualdad que nunca se cumplirá, porque 0 nunca será igual a -1. En consecuencia, el sistema de ecuaciones no tiene solución (es un sistema incompatible).

Ejercicio 5

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con fracciones por el método de sustitución:

$\left. \begin{array}{l}\displaystyle \frac{x}{4}-\frac{y-3}{8}=\frac{5}{8} \\[4ex]\displaystyle \frac{5x+1}{4}+\frac{y}{5}=\frac{3}{2} \end{array} \right\}$

Ver solución

Antes de aplicar el método de sustitución, tenemos que encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores de cada ecuación del sistema:

$m.c.m.(4,8) =8$

$m.c.m.(2,4,5) = 20$

Ahora multiplicamos cada ecuación por el m.c.m. de sus denominadores:

$\left. \begin{array}{l}\displaystyle \frac{x}{4}-\frac{y-3}{8}=\frac{5}{8} \\[4ex]\displaystyle \frac{5x+1}{4}+\frac{y}{5}=\frac{3}{2} \end{array} \right\} \begin{array}{c} \xrightarrow{\times 8} \\[4ex]\xrightarrow{\times 20} \end{array} \left. \begin{array}{l}\displaystyle 8\cdot \frac{x}{4}-8\cdot\frac{y-3}{8}=8\cdot\frac{5}{8} \\[4ex]\displaystyle 20\cdot \frac{5x+1}{4}+20\cdot\frac{y}{5}=20\cdot\frac{3}{2}\end{array} \right\}$

De esta forma podemos simplificar las fracciones de las dos ecuaciones dividendo el m.c.m. entre cada denominador:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 2\cdot x-1\cdot (y-3)=1\cdot 5 \\[2ex]\displaystyle 5\cdot (5x+1)+4\cdot y=10\cdot 3\end{array} \right\}$

Fíjate que si en el numerador de la fracción hay 2 o más términos debemos poner un paréntesis cuando la simplificamos.

Hacemos las multiplicaciones resultantes de las simplificaciones:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 2x-y+3=5 \\[2ex]\displaystyle 25x+5+4y=30\end{array} \right\}$

Trasponemos y agrupamos términos para hacer el sistema más fácil:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 2x-y=5-3 \\[2ex]\displaystyle 25x+4y=30-5\end{array} \right\}$

$\left.\begin{array}{l} 2x-y=2 \\[2ex] 25x+4y=25\end{array} \right\}$

De este modo hemos conseguido eliminar todas las fracciones del sistema y ya podemos emplear el método de sustitución.

Por lo que despejamos la incógnita y de la primera ecuación:

$\left.\begin{array}{l} 2x-y=2 \\[2ex] 25x+4y=25 \end{array} \right\}\begin{array}{c} \longrightarrow \\[2ex] & \end{array} \begin{array}{l} y=2x-2 \\[2ex]& \end{array}$