▷ Método de reducción

Aquí explicamos qué es el método de reducción y cómo se resuelven los sistemas de ecuaciones por el método de reducción. Además, encontrarás varios ejercicios de sistemas resueltos paso a paso por el método de reducción para que puedas practicar y así entender mejor el concepto.

Índice

¿Qué es el método de reducción?

El método de reducción es un método que sirve para resolver sistemas de ecuaciones. En concreto, el método de reducción consiste en hacer operaciones con las ecuaciones para que desaparezca una de las incógnitas del sistema (en el siguiente apartado veremos cómo se hace).

Sin embargo, debes tener en cuenta que el método de reducción no es el único método que hay para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

También existe el método de sustitución, que consiste en despejar una incógnita y sustituir su expresión en la otra ecuación, el método de igualación, que se basa en igualar la misma incógnita de las dos ecuaciones, y el método gráfico, que sirve para averiguar la solución del sistema representándolo en una gráfica. Si estás más interesad@ en estos otros métodos, puedes buscar la explicación de cada uno de ellos en esta web.

Cómo resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción se deben seguir los siguientes pasos:

Operar con las ecuaciones del sistema para que los coeficientes de una incógnita tengan el mismo valor pero de signo contrario.
Sumar las ecuaciones del sistema.
Resolver la ecuación resultante.
Sustituir el valor obtenido en una de las ecuaciones iniciales.
Resolver la ecuación y hallar el valor de la otra incógnita

Solo leyendo la teoría sobre el método de reducción resulta difícil entender del todo cómo se aplica este método. Por eso hemos resuelto un sistema de ecuaciones lineales paso a paso con el método de reducción en el siguiente apartado.

Ejemplo de un sistema de ecuaciones resuelto por el método de reducción

Así pues, vamos a explicar paso a paso la resolución de un sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción para que puedas ver cómo se hace:

$\left. \begin{array}{l} -5x +6y = 7\\[2ex] 4x +3y = 10\vphantom{\xrightarrow{\times(-2)}}\end{array} \right\}$

En primer lugar, tenemos que hacer operaciones con las ecuaciones de manera que los coeficientes de una incógnita sean iguales pero de signo contrario. En este caso, el coeficiente de la incógnita y de la primera ecuación es el doble que el de la segunda ecuación, por tanto, basta con multiplicar la segunda ecuación por -2:

$\left. \begin{array}{l} -5x +6y = 7\\[2ex] 4x +3y = 10 \vphantom{\xrightarrow{\times(-2)}}\end{array} \right\}\begin{array}{l} \\[2ex] \xrightarrow{\times (-2)} \ -8x -6y =- 20 \end{array}$

Una vez hemos transformado las ecuaciones del sistema, tenemos que sumarlas:

$\begin{array}{crrcr} &-5x&+6y&=&7 \\ +&-8x&-6y&=&-20 \\ \hline &-13x&&=&-13\end{array} \right\}$

De esta forma hemos podido eliminar una incógnita del sistema y simplemente nos queda una ecuación de primer grado que podemos resolver fácilmente:

$-13x=-13$

$x= \cfrac{-13}{-13}$

$x=1$

Ahora que ya sabemos el valor de una incógnita, sustituimos dicho valor en cualquier ecuación del principio para calcular la otra incógnita.

$-5x +6y = 7 \quad \xrightarrow{x \ = \ 1} \quad -5\cdot 1+6y =7$

$-5+6y =7$

$6y = 5 +7$

$6y = 12$

$y= \cfrac{12}{6}$

$y=2$

En conclusión, la solución del sistema de ecuaciones es:

$\bm{x=1\qquad y=2}$

Ejercicios resueltos por el método de reducción

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de reducción:

$\left. \begin{array}{l} 5x-4y=7\\[2ex]x+4y=11\end{array} \right\}$

Ver solución

En este ejercicio no hace falta hacer ninguna operación con las ecuaciones, porque los coeficientes de la incógnita y ya son opuestos. Por lo tanto, podemos sumar directamente las dos ecuaciones:

$\begin{array}{crrcr} &5x&-4y&=&7 \\ +&x&+4y&=&11 \\ \hline &6x&&=&18\end{array} \right\}$

Ahora resolvemos la ecuación lineal resultante despejando la x:

$6x=18$

$x= \cfrac{18}{6}$

$x=3$

Y, finalmente, sustituimos el valor hallado de x en cualquier ecuación del principio y la resolvemos:

$x+4y=11 \quad \xrightarrow{x \ = \ 3} \quad 3+4y=11$

$4y=11-3$

$4y=8$

$y= \cfrac{8}{4}$

$y=2$

En resumen, la solución del sistema de ecuaciones lineales es:

$\bm{x=3\qquad y=2}$

Ejercicio 2

Calcula el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de reducción:

$\left. \begin{array}{l}2x +y = 6 \\[2ex] 4x +3y = 14\end{array} \right\}$

Ver solución

En este problema solamente necesitamos multiplicar la primera ecuación por -2, ya que los coeficientes de las x son múltiplos:

$\left. \begin{array}{l} 2x +y = 6 \vphantom{\xrightarrow{\times (-2)}} \\[2ex] 4x +3y = 14 \end{array} \right\}\begin{array}{l} \xrightarrow{\times (-2)} \ -4x -2y =- 12 \\[2ex] & \end{array}$

Luego sumamos las dos ecuaciones:

$\begin{array}{crrcr} &-4x&-2y&=&-12 \\ +&4x&+3y&=&14\\ \hline &&y&=&2\end{array} \right\}$

De la ecuación resultante deducimos que el valor de y tiene que ser 2.

$y=2$

Por último, sustituimos el valor calculado en cualquier ecuación del principio para averiguar la variable x:

$2x +y = 6 \quad \xrightarrow{y \ = \ 2} \quad 2x + 2 =6$

$2x = 6-2$

$2x = 4$

$x=\cfrac{4}{2}$

$x=2$

En conclusión, la solución del sistema de ecuaciones es:

$\bm{x=2\qquad y=2}$

Ejercicio 3

Soluciona el siguiente sistema de ecuaciones con el método de reducción:

$\left. \begin{array}{l} 3x +2y = 8 \\[2ex] 4x -3y = 5 \end{array} \right\}$

Ver solución

En este caso debemos multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda ecuación por -3:

$\left. \begin{array}{l} 3x +2y = 8 \vphantom{\xrightarrow{\times (-2)}}\\[2ex] 4x -3y = 5 \vphantom{\xrightarrow{\times (-2)}}\end{array} \right\} \left.\begin{array}{cl} \xrightarrow{\times 4} &12x +8y =32 \\[2ex] \xrightarrow{\times(-3)} &-12x +9y =- 15 \end{array} \right\}$

Sumamos las expresiones de las dos ecuaciones:

$\begin{array}{crrcr} &12x&+8y&=&+32 \\ +&-12x&+9y&=&-15\\ \hline &&17y&=&17\end{array} \right\}$

Resolvemos la ecuación resultante de la suma:

$17y= 17$

$y=\cfrac{17}{17}$

$y=1$

Finalmente, para encontrar el valor de la incógnita x, sustituimos el valor calculado en cualquier ecuación inicial y la solucionamos:

$3x +2y = 8 \quad \xrightarrow{y \ = \ 1} \quad 3x + 2\cdot 1=8$

$3x + 2 =8$

$3x = 8-2$

$3x = 6$

$x =\cfrac{6}{3}$

$x=2$

De modo que la solución del sistema de ecuaciones es:

$\bm{x=2\qquad y=1}$

Ejercicio 4

Determina la solución del siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción:

$\left. \begin{array}{l} 3x -2y = 7 \\[2ex] 4x +5y = -6 \end{array} \right\}$

Ver solución

En este ejercicio multiplicaremos la primera ecuación por 5 y la segunda por 2:

$\left. \begin{array}{l} 3x -2y = 7\vphantom{\xrightarrow{\times (-2)}} \\[2ex] 4x +5y = -6 \vphantom{\xrightarrow{\times (-2)}}\end{array} \right\} \left.\begin{array}{cl} \xrightarrow{\times 5}& 15x -10y = 35 \\[2ex] \xrightarrow{\times 2} &8x +10y = -12 \end{array} \right\}$

Hacemos la suma de las dos ecuaciones:

$\begin{array}{crrcr} &15x&-10y&=&35 \\ +&8x&+10y&=&-12\\ \hline &23x&&=&23\end{array} \right\}$

Ahora resolvemos la ecuación resultante de la suma:

$23x=23$

$x=\cfrac{23}{23}$

$x=1$

Para terminar, sustituimos el valor numérico de x en cualquier ecuación del principio y calculamos el valor de la incógnita y:

$3x -2y = 7 \quad \xrightarrow{x \ = \ 1} \quad 3\cdot 1 -2y =7$

$3 -2y =7$

$-2y =7-3$

$-2y =4$

$y=\cfrac{4}{-2}$

$y=-2$

En definitiva, la solución del sistema de ecuaciones resuelto por el método de reducción es:

$\bm{x=1\qquad y=-2}$

Ejercicio 5

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con fracciones por el método de reducción

$\left. \begin{array}{l}\displaystyle \frac{4x}{5}-\frac{3y}{2}=-2 \\[4ex] \displaystyle \frac{x}{3}-\frac{y}{4}=\frac{2}{3} \end{array} \right\}$

Ver solución

Antes de aplicar el método de reducción, eliminaremos las fracciones del sistema de ecuaciones para facilitar los cálculos. Para ello, multiplicamos cada ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de sus denominadores, que son:

$m.c.m.(2,5) =10$

$m.c.m.(3,4) =12$

Entonces, multiplicamos cada ecuación por el m.c.m. de sus denominadores:

$\left. \begin{array}{l}\displaystyle \frac{4x}{5}-\frac{3y}{2}=-2 \\[4ex] \displaystyle \frac{x}{3}-\frac{y}{4}=\frac{2}{3} \end{array} \right\} \begin{array}{c} \xrightarrow{\times 10} \\[4ex]\xrightarrow{\times 12} \end{array} \left.\begin{array}{l}\displaystyle 10\cdot \frac{4x}{5}-10}\cdot\frac{3y}{2}=-10\cdot 2 \\[4ex] \displaystyle 12\cdot\frac{x}{3}-12\cdot\frac{y}{4}=12\cdot\frac{2}{3} \end{array} \right\}$

Simplificamos todas las fracciones del sistema de ecuaciones:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 2\cdot 4x-5\cdot 3y=-10\cdot 2 \\[2ex] \displaystyle 4\cdot x-3\cdot y=4\cdot 2\end{array} \right\}$

Y calculamos las multiplicaciones resultantes:

$\left.\begin{array}{l} 8x-15y=-20 \\[2ex] 4x-3y=8\end{array} \right\}$

De esta forma, hemos conseguido transformar el sistema con fracciones a un sistema de ecuaciones simple. Por lo que ya podemos emplear el método de reducción para resolverlo. Así que multiplicamos la segunda ecuación por -2:

$\left.\begin{array}{l} 8x-15y=-20 \\[2ex] 4x-3y=8\end{array} \right\} \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{\times (-2)} \end{array}\begin{array}{l}\\[2ex] -8x+6y=-16\end{array}$

Sumamos las dos ecuaciones:

$\begin{array}{crrcr} &8x&-15y&=&-20 \\ +&-8x&+6y&=&-16 \\ \hline &&-9y&=&-36\end{array} \right\}$

Y despejamos la incógnita de la ecuación obtenida:

$-9y=-36$

$y=\cfrac{-36}{-9}$

$y=4$

Una vez hemos calculado una incógnita, sustituimos su valor en una ecuación del sistema sin fracciones para determinar la otra incógnita:

$\left.\begin{array}{l} 8x-15y=-20 \\[2ex] 4x-3y=8\end{array} \right\} \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{y \ = \ 4} \end{array} \begin{array}{l}\\[2ex] 4x-3\cdot 4=8\end{array} \right\}\end{array}$