▷ Sistema de ecuaciones no lineales

En esta página te explicamos qué son los sistemas de ecuaciones no lineales y cómo resolverlos. Encontrarás la explicación con 3 ejemplos de diferentes tipos de sistemas no lineales. Además, podrás practicar con varios ejercicios resueltos paso a paso de sistemas de ecuaciones no lineales.

Índice

¿Qué es un sistema de ecuaciones no lineales?

Un sistema de ecuaciones no lineales es un tipo de sistema de ecuaciones en el que hay, como mínimo, una ecuación no lineal. Y se considera que una ecuación es no lineal cuando alguna de sus incógnitas no es de primer grado.

Es decir, en un sistema de ecuaciones no lineales aparecen ecuaciones de segundo grado (o cuadráticas), radicales, fracciones, logaritmos, exponentes, razones trigonométricas,…

Tipos de ecuaciones que pueden aparecer en un sistema de ecuaciones no lineales:

Por lo tanto, para poder entender cómo se solucionan los sistemas de ecuaciones no lineales es necesario que sepas resolver todos los anteriores tipos de ecuaciones. De lo contrario, te recomiendo que primero veas la explicación de cada una y luego regreses a esta página.

Sistema no lineal con ecuaciones de segundo grado

Para que veas cómo se resuelven los sistemas de ecuaciones no lineales, vamos a explicar paso a paso la resolución de un sistema de ecuaciones no lineales a modo de ejemplo:

$\left. \begin{array}{l} 3x-y=8 \\[2ex]x^2-y^2=0\end{array} \right\}$

Como puedes comprobar, se trata de un sistema de ecuaciones no lineales porque una de sus ecuaciones es de segundo grado. En este caso utilizaremos el método de sustitución para solucionar el sistema no lineal. Así que despejamos y de la primera ecuación:

$\left. \begin{array}{l} 3x-y=8 \\[2ex]x^2-y^2=0\end{array} \right\} \left. \begin{array}{l} \longrightarrow \ y = 3x-8 \\[2ex] & \end{array}$

Truco: siempre que puedas, despeja una incógnita de la ecuación de primer grado, de este modo evitarás trabajar con raíces.

Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación del sistema:

$x^2-y^2=0 \quad \xrightarrow{y \ = \ 3x-8} \quad x^2 - (3x-8)^2 = 0$

Y ahora resolvemos la ecuación resultante:

$x^2 - (3x-8)^2 = 0$

Calculamos la identidad notable aplicando la fórmula del cuadrado de una diferencia:

$x^2 - \left[(3x)^2+8^2-2 \cdot 3x \cdot 8\right] = 0$

$x^2 - [9x^2+64-48x] = 0$

Cambiamos de signo a todos los términos de dentro del paréntesis porque hay un signo negativo delante:

$x^2 -9x^2-64+48x= 0$

Agrupamos los términos del mismo grado:

$-8x^2+48x-64= 0$

Resolvemos la ecuación de segundo grado con una sola incógnita aplicando la fórmula general:

$\begin{aligned}x & =\cfrac{-48\pm \sqrt{48^2-4\cdot(-8)\cdot(-64)}}{2\cdot(-8)}=\cfrac{-48\pm\sqrt{256}}{-16}=\\[2.5ex]&=\cfrac{-48\pm16}{-16}=\begin{cases}\cfrac{-48+16}{-16}=\cfrac{-32}{-16}=2 \\[4ex]\cfrac{-48-16}{-16}=\cfrac{-64}{-16}=4\end{cases}\end{aligned}$

A diferencia de un sistema de ecuaciones lineales, hemos obtenido dos posibles valores de x. Por lo tanto, debemos calcular la y correspondiente para cada valor de x. Y, para ello, debemos sustituir cada x hallada en la ecuación donde hemos despejado y:

Si x=2:

$y=3\cdot2-8=-2$

Si x=4:

$y=3\cdot4-8=4$

En resumen, el sistema de ecuaciones tiene dos posibles soluciones:

$\begin{cases} \bm{x = 2}\\ \bm{y = -2} \end{cases} \qquad \begin{cases} \bm{x = 4} \\ \bm{y = 4} \end{cases}$

La principal diferencia de los sistemas de ecuaciones no lineales respecto a los sistemas de ecuaciones lineales es que, aunque se resuelven de una manera muy similar, los sistemas de ecuaciones no lineales suelen tener más de una solución.

Sistema no lineal con ecuaciones racionales (o fraccionarias)

Ahora vamos a ver cómo se calcula otro tipo de sistema de ecuaciones no lineales, en concreto, cuando una de sus ecuaciones es racional (o fraccionaria). Para ello, resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones no lineales por pasos como ejemplo:

$\left. \begin{array}{l} \cfrac{x}{y}=\cfrac{5}{3} \\[4ex] 2xy=30 \end{array} \right\}$

Primero de todo, tenemos que quitar los denominadores del sistema. Así que multiplicamos la primera ecuación por el m.c.m. (mínimo común múltiplo) de sus denominadores:

$\cfrac{x}{y}=\cfrac{5}{3}$

$m.c.m.(y,3) = 3y$

$3y\cdot\cfrac{x}{y}=3y\cdot\cfrac{5}{3}$

$3x=5y$

Ya hemos conseguido quitar las fracciones del sistema de ecuaciones. De modo que el sistema queda:

$\left. \begin{array}{l} 3x=5y \\[2ex] 2xy=30 \end{array} \right\}$

Para calcular el sistema usaremos el método de sustitución, por lo que aislamos la incógnita x de la primera ecuación:

$\left. \begin{array}{l} \displaystyle 3x=5y \vphantom{\frac{5y}{3}}\\[2ex] 2xy=30 \end{array}\right\} \begin{array}{l} \displaystyle\longrightarrow \ x = \frac{5y}{3} \\[2ex] & \end{array}$

Sustituimos la expresión algebraica hallada en la segunda ecuación:

$\displaystayle 2xy=30 \quad \xrightarrow{ x \ = \ \frac{5y}{3}} \quad \displaystyle 2 \cdot\frac{5y}{3}\cdot y=30$

Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta resultante:

$\cfrac{10y^2}{3} =30$

$10y^2 =90$

$y^2 = \cfrac{90}{10}$

$y^2 = 9$

$\displaystyle y= \pm 3$

De forma que hemos obtenido dos valores de y. Por tanto, debemos calcular la x que corresponde a cada y:

Si y=3:

$x = \cfrac{5\cdot3}{3}=5$

Si y=-3:

$x = \cfrac{5\cdot(-3)}{3}=-5$

Por lo tanto, las soluciones al sistema de ecuaciones no lineales son:

$\begin{cases} \bm{x = 5} \\ \bm{y = 3} \end{cases} \qquad \begin{cases} \bm{x = -5} \\ \bm{y = -3} \end{cases}$

Cuando tenemos fracciones algebraicas en el sistema, siempre hay que comprobar el resultado. Así que sustituimos las dos soluciones calculadas en el sistema inicial para ver si se cumplen las igualdades:

$\left. \begin{array}{l} \cfrac{5}{3}=\cfrac{5}{3} \\[4ex] 2\cdot 5\cdot 3=30 \end{array} \right\} \longrightarrow \left. \begin{array}{l} \cfrac{5}{3}=\cfrac{5}{3} \\[4ex] 30=30 \end{array} \right\}$

$\left. \begin{array}{l} \cfrac{-5}{-3}=\cfrac{5}{3} \\[4ex] 2\cdot (-5)\cdot (-3)=30 \end{array} \right\} \longrightarrow \left. \begin{array}{l} \cfrac{5}{3}=\cfrac{5}{3} \\[4ex] 30=30 \end{array} \right\}$

Las ecuaciones del sistema se cumplen con las dos soluciones. Por tanto, ambas soluciones son correctas. ✅

Sistema no lineal con ecuaciones irracionales

Por último, vamos a ver un ejemplo de cómo solucionar un sistema de ecuaciones no lineales cuyas ecuaciones son irracionales, es decir, que tiene raíces o radicales:

$\left. \begin{array}{l} x-2y=-1 \\[2ex] -\sqrt{x+1}+y=0 \end{array} \right\}$

Lo primero que debemos hacer para resolver el sistema no lineal es eliminar las raíces. Así que vamos a quitar la raíz de la segunda ecuación. Para ello, aislamos dicha raíz:

$-\sqrt{x+1}+y=0$

$y=\sqrt{x+1}$

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación:

$y^2=\left( \sqrt{x+1} \right)^2$

Y simplificamos la raíz:

$y^2=x+1$

Una vez hemos conseguido quitar la raíz, nos queda el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

$\left. \begin{array}{l} x-2y=-1 \\[2ex] y^2=x+1 \end{array} \right\}$

En este ejercicio aplicaremos el método de sustitución para resolver el sistema. Despejamos la incógnita x de la primera ecuación:

$\left. \begin{array}{l} x-2y=-1 \\[2ex] y^2=x+1 \end{array} \right\} \begin{array}{l}\longrightarrow \ x =-1+2y\\[2ex]&\end{array}$

Sustituimos la expresión de x en la otra ecuación:

$y^2=x+1 \quad \xrightarrow{x \ = \ -1+2y} \quad y^2=-1+2y+1$

$y^2 =2y$

$y^2 -2y=0$

Y resolvemos la ecuación cuadrática incompleta sacando factor común:

$y(y-2)=0$

$\displaystyle y(y-2)=0 \longrightarrow \begin{cases} y=0\\[2ex] y -2=0 \ \longrightarrow \ y=2 \end{cases}$

De modo que hemos encontrado dos posibles valores de y. Por lo tanto, debemos averiguar la x correspondiente para cada valor de y:

Si y=0:

$x =-1+2\cdot0=-1$

Si y=2:

$x =-1+2\cdot2=3$

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones no lineales tienes dos soluciones reales:

$\begin{cases} \bm{x = -1} \\ \bm{y = 0} \end{cases} \qquad \begin{cases} \bm{x = 3} \\ \bm{y = 2} \end{cases}$

Sin embargo, cuando el sistema está formado por ecuaciones irracionales hay que comprobar el resultado. Así que sustituimos las soluciones obtenidas en el sistema inicial para ver si se cumplen las igualdades:

$\left. \begin{array}{l} -1-2\cdot0=-1 \\[2ex] -\sqrt{-1+1}+0=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \left. \begin{array}{c} -1=-1\\[2ex] 0=0 \end{array}\right\}$

$\left. \begin{array}{l} 3-2\cdot 2=-1 \\[2ex] -\sqrt{3+1}+2=0 \end{array}\right\}\longrightarrow \left. \begin{array}{c} -1=-1\\[2ex] 0=0 \end{array}\right\}$

Las ecuaciones se cumplen con las dos soluciones, por lo que ambas son correctas. ✅

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones no lineales

Vista toda la teoría de los sistema de ecuaciones no lineales, te dejamos con varios ejercicios de sistemas de ecuaciones no lineales con solución tanto de nivel de ESO como de Bachillerato.

👇👇¡Si tienes alguna duda sobre la resolución de algún ejercicio escríbela en los comentarios!👇👇

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

$\left. \begin{array}{l} x^2+y^2=5 \\[2ex] x+y=3 \end{array} \right\}$

Ver solución

Para resolver el sistema de ecuaciones no lineales de este problema utilizaremos el método de sustitución. Así que primero despejamos la x de la segunda ecuación:

$\left. \begin{array}{l} x^2+y^2=5 \\[2ex] x+y=3 \end{array} \right\} \begin{array}{l} \\[2ex]\longrightarrow \ x = 3 -y\end{array}$

Sustituimos la expresión hallada en la otra ecuación:

$x^2+y^2=5 \quad \xrightarrow{ x \ = \ 3 -y} \quad (3-y)^2+y^2=5$

Resolvemos la identidad notable:

$3^2+y^2-2 \cdot 3 \cdot y +y^2=5$

$9+y^2-6y +y^2=5$

$9+y^2-6y +y^2-5=0$

Sumamos y restamos los términos con el mismo grado:

$2y^2-6y +4=0$

Resolvemos la ecuación cuadrática con la fórmula general:

$\begin{aligned}y & =\cfrac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 2\cdot 4}}{2\cdot2}=\\[2.5ex]&=\cfrac{+6\pm\sqrt{4}}{4}=\cfrac{6\pm 2}{4}=\begin{cases}\cfrac{6+2}{4}=\cfrac{8}{4}=2 \\[4ex]\cfrac{6-2}{4}=\cfrac{4}{4}=1\end{cases}\end{aligned}$

Hemos obtenido dos valores de y. Por lo tanto, hay que encontrar la x correspondiente para cada y:

Si y=2:

$x = 3 -2=1$

Si y=1:

$x = 3 -1=2$

En definitiva, sistema de ecuaciones no lineal tiene dos soluciones, que son:

$\begin{cases} \bm{x = 1} \\ \bm {y = 2} \end{cases} \qquad \begin{cases} \bm{x = 2} \\ \bm{y = 1} \end{cases}$

Ejercicio 2

Calcula el siguiente sistema de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas:

$\left. \begin{array}{l}3x^2+2y^2 = 32 \\[2ex]4x^2-3y^2=-48 \end{array} \right\}$

Ver solución

Para calcular este sistema con ecuaciones de segundo grado aplicaremos el método de reducción. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2:

$\left. \begin{array}{l} 3x^2+2y^2 = 32 \\[2ex] 4x^2-3y^2=-48 \end{array} \right\} \left.\begin{array}{l} \xrightarrow{\times 3} \ 9x^2 +6y^2 =+96 \\[2ex] \xrightarrow{\times 2} \ 8x^2 -6y^2 = -96 \end{array} \right\}$

Ahora sumamos las dos ecuaciones:

$\begin{array}{cr} & 9x^2 +6y^2 =+96\\ + & 8x^2 -6y^2 = -96 \\ \hline & 17x^2+0y^2= \phantom{+9} 0 \end{array}$

Resolvemos la ecuación resultante:

$17x^2=0$

$x^2=\cfrac{0}{17}$

$x^2=0$

$x=0$

Y, finalmente, sustituimos el valor numérico de x en cualquier ecuación del principio para hallar la incógnita y:

$3x^2+2y^2 = 32 \quad \xrightarrow{x \ = \ 0} \quad 3\cdot 0^2 +2y^2 =32$

$2y^2 =32$

$y^2 =\cfrac{32}{2}$

$y^2 =16$

$y =\pm 4$

De modo que el sistema de ecuaciones no lineales tiene 2 soluciones:

$\begin{cases} \bm{x = 0} \\ \bm{y = 4} \end{cases} \qquad \begin{cases} \bm{x =0} \\ \bm{y = -4} \end{cases}$

Ejercicio 3

Resuelve el siguiente sistema no lineal con ecuaciones racionales:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=\frac{-6}{10} \\[4ex]\displaystyle\frac{18}{xy}=\frac{-9}{5} \end{array} \right\}$

Ver solución

Primero de todo, tenemos que quitar los denominadores de cada ecuación. Para ello multiplicamos cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 10xy\cdot\frac{2}{x}+10xy\cdot\frac{2}{y}=10xy\cdot\frac{-6}{10} \\[4ex]\displaystyle 5xy \cdot\frac{18}{xy}=5xy \cdot\frac{-9}{5} \end{array} \right\}$

Y simplificamos las fracciones del sistema no lineal:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 20y+20x =-6xy\\[2ex]\displaystyle 90= -9xy \end{array} \right\}$

Una vez hemos quitado los denominadores del sistema no lineal, empleamos el método de sustitución para resolverlo. Así que despejamos la x de la segunda ecuación:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 20y+20x =-6xy\\[2ex]\displaystyle 90= -9xy\vphantom{\cfrac{-10}{y}} \end{array} \right\} \begin{array}{l}\\[2ex]\longrightarrow \ x = \cfrac{ 90}{-9y} = \cfrac{-10}{y}\end{array}$

Ahora sustituimos la expresión matemática econtrada en la otra ecuación:

$20y +20\cdot\cfrac{-10}{y}=-6\cdot\cfrac{-10}{y}\cdot y$

$20y +\cfrac{-200}{y} =60$

Para eliminar los denominadores de la ecuación, multiplicamos cada término por y:

$y\cdot20y+y\cdot \cfrac{-200}{y} =y\cdot60$

$20y^2 -200 =60y$

Trasponemos todos los monomios al primer miembro de la ecuación:

$20y^2 -60y-200= 0$

Resolvemos la ecuación de segundo grado aplicando la fórmula general:

$\begin{aligned}y &= \cfrac{ -(-60) \pm \sqrt{(-60)^2 -4\cdot 20 \cdot (-200)}}{2 \cdot 20}\\[2.5ex]&= \cfrac{ 60 \pm 140}{40}= \begin{cases} \cfrac{60+140}{40}=5\\[4ex]\cfrac{60-140}{40}=-2 \end{cases} \end{aligned}$

Y calculamos el valor de x correspondiente a cada valor de y hallado:

Si y=5:

$x=\cfrac{-10}{5} =-2$

Si y=-2:

$x=\cfrac{-10}{-2} =5$

De manera que las soluciones del sistema de ecuaciones son:

$\begin{cases} \bm{x =-2} \\ \bm{y = 5} \end{cases} \qquad \begin{cases} \bm{x = 5} \\ \bm{y = -2} \end{cases}$

Por último, comprobamos las soluciones sustituyéndolas en el sistema de ecuaciones:

$\left. \begin{array}{l} \cfrac{2}{-2}+\cfrac{2}{5}=\cfrac{-6}{10} \\[4ex] \cfrac{18}{-2\cdot5}=\cfrac{-9}{5} \end{array} \right\} \longrightarrow \left. \begin{array}{l} \vphantom{\cfrac{1}{1}}-0,6 = -0,6 \\[4ex] \vphantom{\cfrac{1}{1}}-1,8=-1,8 \end{array} \right\}$

$\left. \begin{array}{l} \cfrac{2}{5}+\cfrac{2}{-2}=\cfrac{-6}{10} \\[4ex] \cfrac{18}{5\cdot(-2)}=\cfrac{-9}{5} \end{array} \right\} \longrightarrow \left. \begin{array}{l} \vphantom{\cfrac{1}{1}}-0,6 = -0,6 \\[4ex] \vphantom{\cfrac{1}{1}}-1,8=-1,8 \end{array} \right\}$

En ambos casos se cumplen las igualdades del sistema, así que ambas soluciones son correctas.

Ejercicio 4

Calcula el siguiente sistema no lineal con ecuaciones fraccionarias:

$\left. \begin{array}{l}\displaystyle x+\frac{1}{y}=\frac{5}{2} \\[4ex]\displaystyle \frac{2}{x}-3y=-5 \end{array} \right\}$

Ver solución

Para resolver el sistema, primero tenemos que quitar los denominadores de las fracciones. Para ello, multiplicamos cada ecuación por el m.c.m. de sus denominadores:

$\left. \begin{array}{l}\displaystyle 2y \cdot x+2y \cdot\frac{1}{y}=2y \cdot\frac{5}{2} \\[4ex]\displaystyle x \cdot\frac{2}{x}-x \cdot 3y=x \cdot(-5) \end{array} \right\}$

Y simplificamos todas las fracciones del sistema:

$\left.\begin{array}{l}2yx+2=5y\\[2ex]2-3yx=-5x\end{array}\right\}$

Para solucionar el sistema usaremos el método de sustitución. Despejamos la x de la primera ecuación:

$\left.\begin{array}{l}2yx+2=5y\vphantom{\cfrac{5y-2}{2y}}\\[3ex]2-3yx=-5x\end{array}\right\}\begin{array}{l}2yx=5y- 2\ \longrightarrow \ x=\cfrac{5y-2}{2y}\\[3ex]&\end{array}$

Luego sustituimos la expresión hallada en la otra ecuación:

$2-3y\cdot\cfrac{5y-2}{2y}=-5\cdot\cfrac{5y-2}{2y}$

$2-\cfrac{3y(5y-2)}{2y}=\cfrac{-5(5y-2)}{2y}$

$2-\cfrac{15y^2-6y}{2y}=\cfrac{-25y+10}{2y}$

Para quitar los denominadores de la ecuación, multiplicamos cada término por el m.c.m. de los denominadores, que en este caso es 2y:

$2y\cdot2-2y\cdot\cfrac{15y^2-6y}{2y}=2y\cdot\cfrac{-25y+10}{2y}$

$4y-(15y^2-6y)=-25y+10$

$4y-15y^2+6y+25y-10=0$

$-15y^2+35y-10=0$

Resolvemos la ecuación de segundo grado aplicando su fórmula correspondiente:

$\begin{aligned}y&=\cfrac{-35\pm \sqrt{35^2 -4\cdot (-15) \cdot (-10)}}{2\cdot(-15)}=\\[2.5ex]&=\cfrac{-35\pm 25}{-30}= \begin{cases} \cfrac{-35+25}{-30}=\cfrac{1}{3}\\[4ex]\cfrac{-35-25}{-30}=2\end{cases}\end{aligned}$

Calculamos el valor de x correspondiente a cada valor de y:

Si y=1/3:

$\begin{aligned}x&=\cfrac{5\cdot \frac{1}{3}-2}{2\cdot\frac{1}{3}}=\cfrac{\frac{5}{3} -2}{\frac{2}{3}}=\cfrac{\frac{-1}{3}}{\frac{2}{3}}=\\[3ex]&=\cfrac{-1 \cdot 3 }{3 \cdot 2} = \cfrac{-3}{6}=\cfrac{-1}{2}\end{aligned}$

Si y=2:

$x=\cfrac{5\cdot2-2}{4}=\cfrac{8}{4}=2$

En defintiiva, las soluciones del sistema de ecuaciones son:

$\begin{cases} \bm{x =} \mathbf{-\cfrac{1}{2}} \\[3ex] \bm{y =} \mathbf{\cfrac{1}{3}} \end{cases} \qquad \begin{cases} \bm{x = 2} \vphantom{\cfrac{1}{2}} \\[3ex] \bm{y = 2} \vphantom{\cfrac{1}{2}} \end{cases}$

Recuerda que cuando operamos con ecuaciones fraccionarias debemos verificar cada resultado obtenido:

$\left. \begin{array}{l} -\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{\frac{1}{3}}=\cfrac{5}{2} \\[4ex] \cfrac{2}{-\frac{1}{2}}-3\cdot\cfrac{1}{3}=-5 \end{array} \right\}\longrightarrow \left. \begin{array}{l} \vphantom{\left(\cfrac{1}{3}\right)}2,5 = 2,5 \\[4ex]-5=-5 \vphantom{\left(\cfrac{1}{3}\right)} \end{array} \right\}$

$\left. \begin{array}{l}2+\cfrac{1}{2}=\cfrac{5}{2} \\[4ex] \cfrac{2}{2}-3\cdot 2=-5 \end{array} \right\} \longrightarrow \left. \begin{array}{l} \vphantom{\cfrac{1}{3}}2,5 = 2,5 \\[4ex] \vphantom{\cfrac{1}{3}}-5=-5 \end{array} \right\}$

Las dos soluciones son correctas.

Ejercicio 5

Resuelve el siguiente sistema no lineal de ecuaciones irracionales:

$\left.\begin{array}{l}x^2-2x-y=-1\\[2ex]x+\sqrt{y}=5\end{array}\right\}$

Ver solución

Primero tenemos que quitar las raíces del sistema. Así que aislamos el radical de la segunda ecuación:

$x+\sqrt{y}=5 \ \longrightarrow \ \sqrt{y}=5-x$

Elevamos al cuadrado los dos lados de la ecuación:

$\left(\sqrt{y}\right)^2= \left(5-x\right)^2$

Y simplificamos el radical y el producto notable:

$y= 25+x^2 -10 x$

Una vez hemos quitado todos los radicales, nos queda el siguiente sistema:

$\large \left. \begin{array}{l} x^2-2x-y=-1 \\[2ex] y= 25+x^2 -10 x \end{array} \right\}$

Para resolverlo utilizaremos el método de sustitución. Por lo que sustituimos la expresión de la segunda ecuación en la primera:

$x^2-2x-(25+x^2-10x)=1$

$x^2-2x-25-x^2+10x=-1$

$x^2-2x-25-x^2+10x+1=0$

Sumamos y restamos los términos semejantes:

$8x-24=0$

Y resolvemos la ecuación lineal:

$8x=24$

$x=\cfrac{24}{8}=3$

Finalmente, sustituimos el valor calculado de x en la ecuación del principio para encontrar el valor de y:

$y=25+3^2-10\cdot3=25+9-30=4$

En conclusión, el sistema de ecuaciones no lineales de este problema tiene una única solución:

$\begin{cases} \bm{x =3} \\ \bm{y = 4} \end{cases}$

Cuando el sistema tiene radicales debemos comprobar la solución sustituyéndola en el sistema de ecuaciones inicial:

$\left. \begin{array}{l} 3^2-2\cdot 3-4=-1 \\[2ex] 3+\sqrt{4}=5 \end{array} \right\} \longrightarrow \left. \begin{array}{l} -1=-1 \vphantom{(-3)}\\[2ex] \vphantom{\sqrt{4}}5=5\end{array} \right\}$

Se cumplen las 2 ecuaciones del sistema no lineal, así que la solución es correcta.

Ejercicio 6

Resuelve el siguiente sistema no lineal con radicales (o raíces):

$\left.\begin{array}{l}2y-x=6\\[2ex]2\sqrt{3x+3y}+2y=24\end{array}\right\}$

Ver solución

En primer lugar, debemos eliminar las raíces del sistema no lineal. Para ello, aislamos la raíz de la segunda ecuación:

$2\sqrt{3x+3y} +2y = 24\ \longrightarrow \ 2\sqrt{3x+3y} = 24-2y$

Y elevamos al cuadrado los dos lados de la ecuación:

$\left(2\sqrt{3x+3y}\right)^2 = \left(24-2y\right)^2$

Simplificamos la raíz y calculamos la igualdad notable:

$2^2\left(\sqrt{3x+3y}\right)^2 = 24^2+(2y)^2-2\cdot24\cdot2y$

$4(3x+3y)=576+4y^2 -96y$

$12x+12y=576+4y^2 -96y$

Una vez hemos quitado las raíces, nos queda el siguiente sistema:

$\left. \begin{array}{l} 2y-x=6 \\[2ex]12x+12y = 576+4y^2 -96y \end{array} \right\}$

Para resolver el sistema de ecuaciones ya sin raíces aplicaremos el método de sustitución. Con lo que despejamos la x de la primera ecuación:

$2y-x=6 \ \longrightarrow \ 2y-6=x$

Ahora sustituimos la expresión hallada en la otra ecuación:

$12\cdot(2y -6) + 12y = 576+4y^2 -96y$

$24y -72 + 12y = 576+4y^2 -96y$

$24y -72 + 12y - 576-4y^2 +96y=0$

Sumamos y restamos los términos con el mismo grado:

$-4y^2 +132y-648=0$

Resolvemos la ecuación cuadrática aplicando la fórmula general:

$\begin{aligned} y&= \cfrac{ -132\pm \sqrt{132^2 -4\cdot (-4) \cdot (-648)}}{2 \cdot (-4)}=\\[2.5ex]&=\cfrac{-132\pm 84}{-8}=\begin{cases} \cfrac{-132+84}{-8}=6 \\[4ex]\cfrac{-132-84}{-8}=27\end{cases}\end{aligned}$

Hemos obtenido dos posibles valores de y. Por lo tanto, hay que encontrar la incógnita x correspondiente para cada y:

Si y=6:

$x = 2\cdot 6 -6=6$

Si y=27:

$x = 2\cdot 27 -6=48$

De manera que el sistema de ecuaciones no lineales tiene dos posibles soluciones, que son:

$\begin{cases}x=6\\y=6\end{cases} \qquad \begin{cases}x=48\\ y=27\end{cases}$

Pero debemos comprobar las soluciones sustituyéndolas en el sistema de ecuaciones original:

$\left. \begin{array}{l} 2\cdot6-6=6 \\[2ex] 2\sqrt{3\cdot6+3\cdot6} +2\cdot6 = 24 \end{array} \right\} \longrightarrow \left. \begin{array}{l} 6=6 \\[2ex]24=24\end{array} \right\}$

$\left. \begin{array}{l} 2\cdot27-48=6 \\[2ex] 2\sqrt{3\cdot48+3\cdot27} +2\cdot27 = 24 \end{array} \right\} \longrightarrow \left. \begin{array}{l} 6=6 \\[2ex]84 \neq 24\end{array} \right\}$

Con la primera solución se cumplen las ecuaciones del sistema, por tanto, es correcta. En cambio, con la segunda solución no se cumplen las ecuaciones y, en consecuencia, no es correcta.

De modo que la única solución del sistema de ecuaciones es:

$\begin{cases}\bm{x=6}\\ \bm{y=6}\end{cases}$

¿Qué es un sistema de ecuaciones no lineales?

Sistema no lineal con ecuaciones de segundo grado

Sistema no lineal con ecuaciones racionales (o fraccionarias)

Sistema no lineal con ecuaciones irracionales

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones no lineales

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Deja un comentario Cancelar respuesta