▷ Sistemas de ecuaciones trigonométricas

En este post te explicamos qué son los sistemas de ecuaciones trigonométricas y cómo se resuelven. Además, podrás practicar con varios ejercicios resueltos paso a paso de sistemas de ecuaciones trigonométricas.

Índice

¿Qué es un sistema de ecuaciones trigonométricas?

Un sistema de ecuaciones trigonométricas es un sistema de dos o más ecuaciones en el que la incógnita aparece en el argumento de una función trigonométrica (seno, coseno, tangente,…) Por lo tanto, para resolver un sistema de ecuaciones trigonométricas se deben aplicar las identidades trigonométricas.

Lógicamente, para poder calcular sistemas de ecuaciones trigonométricas primero debes saber cómo resolver ecuaciones trigonométricas. Así que antes de seguir te recomiendo que visites rápidamente este enlace, donde se explica paso a paso cómo se resuelven las ecuaciones trigonométricas y, además, podrás ver varios ejercicios resueltos de ecuaciones trigonométricas. También encontrarás todas las fórmulas de las identidades trigonométricas (imprescindibles para solucionar este tipo de sistemas de ecuaciones).

Cómo resolver un sistema de ecuaciones trigonométricas

Una vez hemos visto la definición de sistema de ecuaciones trigonométricas, vamos a resolver un ejemplo paso a paso para que veas cómo se hacen.

$\left.\begin{array}{l}sen\left(x\right)+cos\left(y\right)=1 \\[2ex] x-y=90º\end{array} \right\}$

En este caso resolveremos el sistema de ecuaciones por el método de sustitución (qué es el método de sustitución?). Por lo tanto, despejamos la incógnita x de la segunda ecuación:

$\left.\begin{array}{l}sen\left(x\right)+cos\left(y\right)=1 \\[2ex] x-y=90º\end{array}\right\}\begin{array}{l}\\[2ex] \longrightarrow \ x=90º+y\end{array}$

Y sustituimos la expresión algebraica obtenida en la otra ecuación:

$sen(90º+y)+cos\left(y\right)=1$

De manera que ahora podemos aplicar la identidad trigonométrica del seno de la suma de dos ángulos (ver fórmula en el enlace de arriba):

$sen(90º)cos(y)+cos(90º)sen(y)+cos\left(y\right)=1$

El seno de 90 grados es igual a la unidad y coseno de 90 grados es nulo, por tanto:

$1\cdot cos(y)+0\cdot sen(y)+cos\left(y\right)=1$

$cos(y)+cos(y)=1$

Podemos sumar los dos cosenos porque son semejantes:

$2cos(y)=1$

Despejamos el coseno:

$cos(y)=\cfrac{1}{2}$

Y calculamos el arcocoseno para hallar el valor de la incógnita y:

$\displaystyle y=arccos\left(\frac{1}{2}\right)$

$\displaystyle y=60º$

El coseno del primer y del cuarto cuadrantes son equivalentes, de modo que la variable y también puede tomar el valor de 300º. Además, los ángulos se van repitiendo cada 360º, por tanto:

$y=60º+360ºk \qquad k\in \mathbb{N}$

$y=300º+360ºk \qquad k\in \mathbb{N}$

Y, finalmente, determinamos los valores de la incógnita x sustituyendo cada valor encontrado en la expresión donde hemos despejado x:

$y=60º+360ºk$

$x=90º+y$

$x=90º+60º+360ºk$

$x=150º+360ºk$

$y=300º+360ºk$

$x=90º+y$

$x=90º+300º+360ºk$

$x=390º+360ºk$

$x=30º+360ºk$

En definitiva, las soluciones del sistema de ecuaciones trigonométricas son:

$\displaystyle\begin{cases}x=150º+360ºk \\[2ex]y=60º+360ºk \end{cases}\qquad \begin{cases}x=30º+360ºk\\[2ex]y=300º+360ºk\end{cases}\quad k\in \mathbb{N}$

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones trigonométricas

Vista toda la teoría de los sistemas de ecuaciones trigonométricas, puedes practicar con los siguientes ejercicios resueltos paso a paso de sistemas de ecuaciones trigonométricas para acabar de entender el concepto.

👇👇👇¡Si tienes alguna duda sobre la resolución de cualquier sistema de ecuaciones trigonométricas, la responderemos en los comentarios!👇👇👇

Ejercicio 1

Halla todas las soluciones comprendidas entre 0º y 360º (0 y 2π) del siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:

$\left.\begin{array}{l}sen^2(x)-cos^2(y)=0\\[2ex]5cos^2(x)+cos^2(y)=4\end{array}\right\}$

Ver solución

En este ejercicio usaremos el método de sustitución para solucionar el sistema. Por lo que despejamos el coseno al cuadrado de la primera ecuación

$\left.\begin{array}{l}sen^2(x)-cos^2(y)=0\\[2ex]5cos^2(x)+cos^2(y)=4\end{array}\right\}\begin{array}{l} \longrightarrow \ cos^2(y)=sen^2(x)\\[2ex] & \end{array}$

Sustituimos la expresión en la segunda ecuación:

$5cos^2(x)+sen^2(x)=4$

Aplicamos la identidad trigonométrica fundamental para tener únicamente cosenos en la ecuación:

$sen^2(x)+cos^2(x)=1 \ \longrightarrow \ sen^2(x)=1-cos^2(x)$

$5cos^2(x)+1-cos^2(x)=4$

Trasponemos y agrupamos términos semejantes:

$5cos^2(x)-cos^2(x)=4-1$

$4cos^2(x)=3$

Despejamos el coseno:

$cos^2(x)=\cfrac{3}{4}$

$\displaystyle cos(x)=\sqrt{\frac{3}{4}}$

$\displaystyle cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Y hacemos el arcocoseno para hallar la incógnita x:

$\displaystyle x=arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$x=30º \qquad x=330º$

Y, por último, calculamos los valores de la incógnita y por cada valor encontrado de x:

$x=30º$

$cos^2(y)=sen^2(x)$

$cos(y)=sen(x)$

$cos(y)=sen(30º)$

$\displaystyle cos=\frac{1}{2}$

$\displaystyle y=arccos\left(\frac{1}{2}\right)$

$y=60º\qquad y=300º$

$x=330º$

$cos^2(y)=sen^2(x)$

$cos(y)=sen(x)$

$cos(y)=sen(330º)$

$\displaystyle cos=\frac{1}{2}$

$\displaystyle y=arccos\left(\frac{1}{2}\right)$

$y=60º\qquad y=300º$

En este problema solamente nos piden las soluciones que estén entre 0 y 360 grados. Por tanto, el sistema de ecuaciones trigonométricas tiene 4 posibles soluciones:

$\begin{cases}x=30º\\[2ex]y=60º\end{cases}\qquad \begin{cases}x=30º\\[2ex]y=300º\end{cases}\qquad\begin{cases}x=330º \\[2ex]y=60º\end{cases}\qquad\begin{cases}x=330º \\[2ex]y=300º\end{cases}$

Ejercicio 2

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:

$\left.\begin{array}{l}2sen(x)+cos(y)=1\\[2ex]4sen(x)-cos(y)=2\end{array} \right\}$

Ver solución

En este caso, tenemos el mismo coseno en las dos ecuaciones y, además, tienen signo contrario. De modo que el método de reducción es el más adecuado para resolver este sistema. Así que sumamos las dos ecuaciones:

$\begin{array}{crrcr} &2sen(x)&+cos(y)&=&1\\[1.1ex] +&4sen(x)&-cos(y)&=&2\\ \hline &6sen(x)\vphantom{\Bigl(}&&=&3\end{array} \right\}$

Entonces, despejamos el seno de la ecuación obtenida:

$6sen(x)=3$

$sen(x)=\cfrac{3}{6}$

$sen(x)=\cfrac{1}{2}$

Hacemos el arcoseno para calcular el valor de la incógnita x:

$\displaystyle x=arcsen\left(\frac{1}{2}\right)$

$x=30º+360ºk \qquad k\in \mathbb{N}$

$x=150º+360ºk \qquad k\in \mathbb{N}$

Para terminar, hallamos los valores de la incógnita y sustituyendo cada valor encontrado en cualquier ecuación del sistema original:

$x=30º+360ºk$

$2sen(30º)+cos(y)=1$

$2\cdot\cfrac{1}{2}+cos(y)=1$

$1+cos(y)=1$

$cos(y)=0$

$y=arccos(0)$

$y=90º+360ºk$

$y=270º+360ºk$

$x=150º+360ºk$

$2sen(150º)+cos(y)=1$

$2\cdot\cfrac{1}{2}+cos(y)=1$

$1+cos(y)=1$

$cos(y)=0$

$y=arccos(0)$

$y=90º+360ºk$

$y=270º+360ºk$

En resumen, las soluciones del sistema de ecuaciones trigonométricas son:

$\displaystyle\begin{array}{ccc}\begin{cases}x=30º+360ºk \\[2ex]y=90º+360ºk \end{cases}& \begin{cases}x=30º+360ºk \\[2ex]y=270º+360ºk\end{cases}&\\[2ex] &&k\in \mathbb{N} \\[2ex]\begin{cases}x=150º+360ºk \\[2ex]y=90º+360ºk \end{cases}& \begin{cases}x=150º+360ºk \\[2ex]y=270º+360ºk\end{cases}\end{array}$

Ejercicio 3

Calcula el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas con fracciones:

$\left.\begin{array}{l}cos(2x+2y)=-1\\[3ex]\displaystyle sen(x-y)=\frac{1}{2}\end{array}\right\}$

Ver: cómo resolver sistemas de ecuaciones con fracciones

Ver solución

Para solucionar el sistema de ecuaciones trigonométricas de este problema debemos utilizar la lógica. En primer lugar, solamente hay un valor que haga que el coseno valga -1, y ese valor es 180º. En consecuencia, el argumento del coseno tiene que ser equivalente a dicho ángulo:

$cos(2x+2y)=-1$

$cos(180º)=-1$

$2x+2y=180º$

Del mismo modo, el seno solo vale un medio cuando tiene como argumento 30º o 150º. Por lo tanto, la expresión que hay en el argumento del seno debe ser igual a 30º o 150º:

$\displaystyle sen(x-y)=\frac{1}{2}$

$\displaystyle sen(30º)=\frac{1}{2}$

$x-y=30º$

$\displaystyle sen(x-y)=\frac{1}{2}$

$\displaystyle sen(150º)=\frac{1}{2}$

$x-y=150º$

Así que podemos transformar el sistema de ecuaciones trigonométricas original en dos sistemas de eucaciones lineales:

$\left.\begin{array}{l}2x+2y=180º\\[2ex]x-y=30º\end{array}\right\}\qquad \qquad \left.\begin{array}{l}2x+2y=180º\\[2ex]x-y=150º\end{array}\right\}$

Estos dos sistemas son muchos más fáciles de resolver:

$\left.\begin{array}{l}2x+2y=180º\\[2ex]x-y=30º\end{array}\right\}\begin{array}{l}\\[2ex]\longrightarrow \ x=30º+y\end{array}$

$2(30º+y)+2y=180º$

$60º+2y+2y=180º$

$4y=120º$

$y=\cfrac{120º}{4}=30º$

$x=30º+30º=60º$

$\left.\begin{array}{l}2x+2y=180º\\[2ex]x-y=150º\end{array}\right\}\begin{array}{l}\\[2ex]\longrightarrow \ x=150º+y\end{array}$

$2(150º+y)+2y=180º$

$300º+2y+2y=180º$

$4y=-120º$

$y=\cfrac{-120º}{4}=-30º=330º$

$x=150º+330º=480º=120º$

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones trigonométricas tiene dos posibles soluciones:

$\displaystyle\begin{cases}x=60º+360ºk \\[2ex]y=30º+360ºk \end{cases}\qquad \begin{cases}x=120º+360ºk\\[2ex]y=330º+360ºk\end{cases}\quad k\in \mathbb{N}$

Ejercicio 4

Soluciona el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:

$\left.\begin{array}{l}sen(5x)cos(y)+cos(5x)sen(y)=-1\\[2ex]cos(2x)cos(5y)+sen\left(2x)sen(5y)=1\end{array}\right\}$

Ver solución

Este sistema de ecuaciones trigonométricas parece muy difícil, ya que tiene diferentes razones trigonométricas y con distintos argumentos. Sin embargo, se puede simplificar bastante aplicando las identidades trigonométricas del seno de la suma de dos ángulos y del coseno de la diferencia de dos ángulos:

$sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)$

$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)$

$\left.\begin{array}{l}sen(5x+y)=-1\\[2ex]cos(2x-5y)=1\end{array}\right\}$

Entonces, para resolver este sistema tenemos que usar la misma lógica que en el ejercicio 3. Primero, para que el seno valga -1 su argumento tiene que valer 270º, por tanto:

$sen(5x+y)=-1$