▷ Sistemas de ecuaciones con fracciones

En este post te explicamos cómo se resuelven los sistemas de ecuaciones con fracciones. Además, encontrarás varios ejercicios resueltos paso a paso de sistemas de ecuaciones con fracciones para que puedas practicar.

Antes de seguir, te recomendamos que primero le eches un vistazo a cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado con fracciones, así te resultará más fácil entender los sistemas.

Índice

Cómo resolver sistemas de ecuaciones con fracciones

Para resolver un sistema de ecuaciones con fracciones se deben seguir los siguientes pasos:

Calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores de cada ecuación con fracciones.
Multiplicar cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores.
Simplificar las fracciones de cada ecuación.
Resolver el sistema de ecuaciones aplicando el método de sustitución, reducción, igualación o gráfico.

Con este procedimiento se puede hallar la solución de cualquier sistema de ecuaciones lineales con fracciones. Para que veas cómo se hace, en el siguiente apartado hemos hecho la resolución de un ejemplo paso a paso.

Pero para poder resolver este tipo de sistema de ecuaciones es necesario que sepas cómo se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 2 o más números, por lo que antes repasaremos este concepto brevemente.

$m.c.m.(10,12) = \ ?$

1. Para calcular el mínimo común múltiple de dos o más números primero debemos hallar la descomposición factorial de cada uno:

$\displaystyle \begin{array}{c}\vphantom{\begin{array}{r|c} 12&2\\6&2\\3&3\\1& \end{array}}\begin{array}{r|c} 10&2\\5&5\\1& \end{array} \\ \\ 10=2\cdot 5 \end{array} \qquad \begin{array}{c} \begin{array}{r|c} 12&2\\6&2\\3&3\\1& \end{array} \\ \\ 12=2^2\cdot 3 \end{array}$

2. Y luego tenemos que multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia:

$m.c.m.(10,12) = 2^2\cdot 3 \cdot 5 = \bm{60}$

De modo que el mínimo común múltiplo de 10 y 12 es igual a 60.

Ejemplo de sistema de ecuaciones con fracciones

Una vez hemos visto la explicación del método para calcular sistemas de ecuaciones con fracciones (o denominadores), vamos a ver paso a paso la resolución de un sistema de dos ecuaciones con fracciones a modo de ejemplo:

$\left. \begin{array}{l}\displaystyle \frac{4x}{5}-\frac{3y}{2}=-2 \\[4ex] \displaystyle \frac{x}{3}-\frac{y}{4}=\frac{2}{3} \end{array} \right\}$

Para eliminar las fracciones del sistema de ecuaciones tenemos que multiplicar cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores. Por lo tanto, primero debemos encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores de cada ecuación:

$m.c.m.(2,5) = \color{orange}\bm{10}$

$m.c.m.(3,4) = \color{blue}\bm{12}$

Entonces, multiplicamos cada ecuación por el m.c.m. de sus denominadores:

$\left. \begin{array}{l}\displaystyle \frac{4x}{5}-\frac{3y}{2}=-2 \\[4ex] \displaystyle \frac{x}{3}-\frac{y}{4}=\frac{2}{3} \end{array} \right\} \begin{array}{c} \xrightarrow{\times 10} \\[4ex]\xrightarrow{\times 12} \end{array} \left.\begin{array}{l}\displaystyle \color{orange}\bm{10}\color{black}\cdot \frac{4x}{5}-\color{orange}\bm{10}\color{black}\cdot\frac{3y}{2}=-\color{orange}\bm{10}\color{black}\cdot 2 \\[4ex] \displaystyle \color{blue}\bm{12}\color{black}\cdot\frac{x}{3}-\color{blue}\bm{12}\color{black}\cdot\frac{y}{4}=\color{blue}\bm{12}\color{black}\cdot\frac{2}{3} \end{array} \right\}$

Recuerda que multiplicar toda una ecuación por un número es equivalente a multiplicar cada término de la ecuación por dicho número.

Ahora simplificamos todas las fracciones del sistema de ecuaciones:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle \color{orange}\bm{2}\color{black}\cdot 4x-\color{orange}\bm{5}\color{black}\cdot 3y=-10\cdot 2 \\[2ex] \displaystyle \color{blue}\bm{4}\color{black}\cdot x-\color{blue}\bm{3}\color{black}\cdot y=\color{blue}\bm{4}\color{black}\cdot 2\end{array} \right\}$

Y calculamos las multiplicaciones resultantes:

$\left.\begin{array}{l} 8x-15y=-20 \\[2ex] 4x-3y=8\end{array} \right\}$

De esta forma, hemos conseguido transformar el sistema con fracciones a un sistema de ecuaciones normal. Entonces, para solucionar dicho sistema podemos utilizar el método que queramos, pero en este caso nosotros resolveremos el sistema de ecuaciones por el método de reducción, ya que los coeficientes de las variables x son proporcionales.

Así que multiplicamos la segunda ecuación por -2:

$\left.\begin{array}{l} 8x-15y=-20 \\[2ex] 4x-3y=8\end{array} \right\} \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{\times (-2)} \end{array}\left.\begin{array}{l} 8x-15y=-20 \\[2ex] -8x+6y=-16\end{array} \right\}$

Sumamos las dos ecuaciones:

$\begin{array}{crrcr} &8x&-15y&=&-20 \\ +&-8x&6y&=&-16 \\ \hline &&-9y&=&-36\end{array} \right\}$

Y despejamos la incógnita de la ecuación obtenida:

$-9y=-36$

$y= \cfrac{-36}{-9}$

$\bm{y=4}$

Una vez hemos calculado una incógnita, sustituimos su valor en una ecuación del sistema para determinar la otra incógnita:

$\left.\begin{array}{l} 8x-15y=-20 \\[2ex] 4x-3y=8\end{array} \right\} \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{y \ = \ 4} \end{array} \begin{array}{l}\\[2ex] 4x-3\cdot 4=8\end{array} \right\}\end{array}$

$4x-12=8$

$4x=8+12$

$4x = 20$

$x= \cfrac{20}{4}$

$\bm{x=5}$

En definitiva, la solución del sistema de ecuaciones con dos ecuaciones y 2 incógnitas formado por fracciones es x=5, y=4.

$\bm{x=5 \qquad y=4}$

En este caso el sistema era lineal, pero cuando el sistema con fracciones es no lineal se debe resolver de manera distinta. Por eso te recomendamos que veas cómo resolver sistemas de ecuaciones no lineales con fracciones.

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones con fracciones

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con fracciones y dos incógnitas:

$\left. \begin{array}{l}\displaystyle \frac{2x}{3}-\frac{y}{2}=-1\\[4ex] \displaystyle \frac{5x}{3}-\frac{y}{4}=\frac{7}{2} \end{array} \right\}$

Ver solución

Para quitar las fracciones del sistema de ecuaciones debemos multiplicar cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores. Así que primero debemos averiguar el mínimo común múltiplo de los denominadores de cada ecuación:

$m.c.m.(2,3) = 6$

$m.c.m.(2,3,4) = 12$

Multiplicamos cada ecuación por el m.c.m. de los denominadores de sus fracciones:

$\left. \begin{array}{l}\displaystyle \frac{2x}{3}-\frac{y}{2}=-1\\[4ex] \displaystyle \frac{5x}{3}-\frac{y}{4}=\frac{7}{2} \end{array} \right\} \begin{array}{c} \xrightarrow{\times 6} \\[4ex]\xrightarrow{\times 12} \end{array} \left. \begin{array}{l}\displaystyle 6\cdot \frac{2x}{3}-6\cdot \frac{y}{2}=-6\cdot 1\\[4ex] \displaystyle 12\cdot \frac{5x}{3}-12\cdot\frac{y}{4}=12\cdot\frac{7}{2} \end{array} \right\}$

Simplificamos las fracciones de las dos ecuaciones:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 2\cdot 2x-3\cdot y=-6\cdot 1\\[2ex] \displaystyle 4\cdot 5x-3\cdot y=6\cdot 7\end{array} \right\}$

Hacemos las multiplicaciones resultantes:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 4x-3y=-6\\[2ex] \displaystyle 20x-3y=42\end{array} \right\}$

De esta modo hemos logrado convertir el sistema original en un sistema de ecuaciones sin fracciones. Para resolver este sistema podemos usar el método que queramos, pero en este problema utilizaremos el método de reducción, ya que los coeficientes de las variables y son iguales.

Por lo tanto, restamos las dos ecuaciones:

$\begin{array}{crrcr} &4x&-3y&=&-6 \\ -&20x&-3y&=&42 \\ \hline & -16x&&=&-48\end{array} \right\}$

Calculamos la incógnita de la ecuación obtenida:

$-16x=-48$

$x= \cfrac{-48}{-16}$

$\bm{x=3}$

Y, finalmente, sustituimos el valor hallado en una ecuación del sistema para calcular la otra incógnita:

$\left.\begin{array}{l} 4x-3y=-6\\[2ex] \displaystyle 20x-3y=42\end{array} \right\} \begin{array}{c} \xrightarrow{x \ = \ 3}\\[2ex] & \end{array} \begin{array}{l}4\cdot 3 -3y =-6\\[2ex] & \end{array} \right\}\end{array}$

$12-3y = -6$

$-3y = -6 -12$

$-3y = -18$

$y= \cfrac{-18}{-3}$

$\bm{y=6}$

En conclusión, la solución del sistema de ecuaciones con fracciones es:

$\bm{x=3 \qquad y=6}$

Ejercicio 2

Calcula el siguiente sistema de ecuaciones con fracciones:

$\left. \begin{array}{l}\displaystyle \frac{x}{4}-\frac{y-3}{8}=\frac{5}{8} \\[4ex]\displaystyle \frac{5x+1}{4}+\frac{y}{5}=\frac{3}{2} \end{array} \right\}$

Ver solución

Lo primero que debemos hacer es hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores de cada ecuación del sistema:

$m.c.m.(4,8) =8$

$m.c.m.(2,4,5) = 20$

En segundo lugar, multiplicamos cada ecuación por el m.c.m. de sus denominadores:

$\left. \begin{array}{l}\displaystyle \frac{x}{4}-\frac{y-3}{8}=\frac{5}{8} \\[4ex]\displaystyle \frac{5x+1}{4}+\frac{y}{5}=\frac{3}{2} \end{array} \right\} \begin{array}{c} \xrightarrow{\times 8} \\[4ex]\xrightarrow{\times 20} \end{array} \left. \begin{array}{l}\displaystyle 8\cdot \frac{x}{4}-8\cdot\frac{y-3}{8}=8\cdot\frac{5}{8} \\[4ex]\displaystyle 20\cdot \frac{5x+1}{4}+20\cdot\frac{y}{5}=20\cdot\frac{3}{2}\end{array} \right\}$

Simplificamos las fracciones de las dos ecuaciones dividendo el m.c.m. entre cada denominador:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 2\cdot x-1\cdot (y-3)=1\cdot 5 \\[2ex]\displaystyle 5\cdot (5x+1)+4\cdot y=10\cdot 3\end{array} \right\}$

Fíjate que si en el numerador hay 2 o más términos debemos poner un paréntesis cuando simplificamos la fracción.

Hacemos las multiplicaciones resultantes de las simplificaciones:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 2x-y+3=5 \\[2ex]\displaystyle 25x+5+4y=30\end{array} \right\}$

Trasponemos y agrupamos términos para hacer más fácil el sistema:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 2x-y=5-3 \\[2ex]\displaystyle 25x+4y=30-5\end{array} \right\}$

$\left.\begin{array}{l} 2x-y=2 \\[2ex] 25x+4y=25\end{array} \right\}$

De este modo hemos conseguido eliminar todas las fracciones del sistema. Entonces, para resolver este sistema puedes emplear el método que prefieras, pero en este problema nosotros utilizaremos el método de sustitución, porque el coeficiente de la variable y de la primera ecuación es -1.

De manera que despejamos la incógnita y de la primera ecuación:

$\left.\begin{array}{l} 2x-y=2 \\[2ex] 25x+4y=25 \end{array} \right\}\begin{array}{c} \longrightarrow \\[2ex] & \end{array} \begin{array}{l} y=2x-2 \\[2ex]& \end{array}$

Ahora sustituimos la expresión algebraica obtenida en la otra ecuación:

$25x+4y=25 \ \xrightarrow{y=2x-2} \ 25x+4(2x-2)=25$

Y resolvemos la ecuación resultante:

$25x+8x-8=25$

$25x+8x=25+8$

$33x=33$

$x= \cfrac{33}{33}$

$\bm{x=1}$

Y, finalmente, sustituimos el valor hallado en la expresión de la variable y:

$y=2x-2 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ y=2\cdot 1-2 = 0$

$\bm{y=0}$

Con lo que la solución del sistema de ecuaciones con denominadores es:

$\bm{x=1 \qquad y=0}$

Ejercicio 3

Soluciona el siguiente sistema de ecuaciones con fracciones:

$\left. \begin{array}{l}\displaystyle\frac{5\left(x-2\right)}{3}-\frac{3y}{4}=\frac{x-7y}{12} \\[4ex]\displaystyle \frac{6-\left(x+y\right)}{2}-\frac{5-x}{5}=\frac{x+2y}{10} \end{array} \right\}$

Ver solución

En primer lugar, tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores de cada ecuación:

$m.c.m.(3,4,12)=12$

$m.c.m.(2,5,10) = 10$

Después multiplicamos cada ecuación por el m.c.m. de sus denominadores:

$\begin{array}{l}\displaystyle 12 \cdot \frac{5\left(x-2\right)}{3}-12 \cdot\frac{3y}{4}=12 \cdot\frac{x-7y}{12} \\[4ex]\displaystyle 10 \cdot\frac{6-\left(x+y\right)}{2}-10 \cdot\frac{5-x}{5}=10 \cdot\frac{x+2y}{10}\end{array} \right\}$

Simplificamos todas las fracciones dividendo el m.c.m. entre cada denominador:

$\left.\begin{array}{l}4 \cdot \bigl[5\left(x-2\right)\bigr]-3 \cdot 3y= 1 \cdot (x-7y) \\[2ex] 5 \cdot \bigl[6-\left(x+y\right)\bigr]-2 \cdot (5-x)=1 \cdot (x+2y) \end{array} \right\}$

Calculamos todas las multiplicaciones aplicando la propiedad distributiva:

$\left.\begin{array}{l}4 \cdot \bigl[5x-10\bigr]-9y= x-7y \\[2ex] 5 \cdot \bigl[6-x-y\bigr]-10+2x=x+2y \end{array} \right\}$

$\left.\begin{array}{l}20x-40-9y= x-7y \\[2ex]30-5x-5y-10+2x=x+2y \end{array} \right\}$

Trasponemos términos de miembro y agrupamos los que son semejantes para simplificar el sistema de ecuaciones lineales:

$\left.\begin{array}{l}20x-9y-x+7y=40 \\[2ex] -5x-5y+2x-x-2y=-30+10 \end{array} \right\}$

$\left.\begin{array}{l}19x-2y=40 \\[2ex] -4x-7y=-20 \end{array} \right\}$

Así pues, para solucionar el sistema obtenido se puede emplear cualquier método, pero en este problema aplicaremos el método de reducción.

Por lo que multiplicamos la primer ecuación por 7 y la segundo ecuación por -2:

$\left.\begin{array}{l} 19x-2y=40 \\[2ex] -4x-7y=-20\end{array} \right\} \begin{array}{c}\xrightarrow{\times 7} \\[2ex] \xrightarrow{\times (-2)} \end{array}\left.\begin{array}{l} 133x-14y=280 \\[2ex] 8x+14y=40\end{array} \right\}$

Ahora hacemos la suma de las dos ecuaciones:

$\begin{array}{crrcr} &133x&-14y&=&280 \\ +&8x&14y&=&40 \\ \hline &141x&&=&320\end{array} \right\}$

Y despejamos la incógnita de la ecuación obtenida:

$141x=320$

$\bm{x=} \mathbf{\cfrac{320}{141}}$

Una vez sabemos la incógnita x, sustituimos su valor en una ecuación del sistema para determinar la incógnita y:

$\left.\begin{array}{l} 19x-2y=40 \\[2ex] -4x-7y=-20\end{array} \right\} \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{x \ = \ \frac{320}{141}} \end{array} \begin{array}{l}\\[2ex] \displaystyle -4\cdot \frac{320}{141}-7y=-20\end{array} \right\}\end{array}$