En esta página explicamos cómo se resuelve una ecuación de primer grado con fracciones (o denominadores). También mostramos cómo se solucionan las ecuaciones de primer grado con fracciones y paréntesis a la vez. Y, además, encontrarás varios ejemplos y podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de este tipo de ecuaciones.
Índice
Cómo resolver una ecuación de primer grado con fracciones
Para resolver una ecuación de primer grado con fracciones (o denominadores) se deben seguir los siguientes pasos:
- Calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
- Multiplicar toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir, multiplicar cada término de la ecuación por el mcm.
- Simplificar las fracciones.
- Trasponer términos, esto es, colocar los términos con incógnita en un miembro de la ecuación y los términos sin incógnita en el otro miembro.
- Agrupar los términos semejantes de cada miembro de la ecuación.
- Despejar la incógnita de la ecuación.
Siguiendo este procedimiento se puede solucionar cualquier ecuación que tenga fracciones. Así pues, para que veas exactamente cómo se hace, en el siguiente apartado te mostramos la resolución de un ejemplo paso a paso.
Pero para poder resolver este tipo de ecuaciones es imprescindible que sepas cómo se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 2 o más números, por lo que antes haremos un repaso muy rápido.
1. Para hallar el mínimo común múltiple entre dos números primero debemos hacer su descomposición factorial:
2. Y luego debemos multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia:
De modo que el mínimo común múltiplo entre 10 y 12 es igual a 60.
Ejemplo de ecuación de primer grado con fracciones
Para que puedas entender del todo cómo se calculan las ecuaciones de primer grado con fracciones o denominadores vamos a solucionar un ejemplo explicando el método paso a paso:
En este caso, los denominadores son 2, 3 y 4. Por lo tanto, lo primero que debemos hacer es hallar el mínimo común múltiplo entre estos tres números, que es 12.
En segundo lugar, debemos multiplicar cada término de la ecuación por el mínimo común múltiplo hallado en el paso anterior:
De manera que las fracciones de la ecuación se pueden simplificar dividiendo el 12 entre cada denominador:
Fíjate que cuando en el numerador de la fracción hay más de un término debemos poner un paréntesis al eliminar el denominador.
![\begin{array}{c}12 \cdot \cfrac{5x+4}{4} \\[3ex] \bm{\downarrow} \\[2ex] 3\cdot (5x+4) \end{array}](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ee2eee35a87dd4d124335feb180865a_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esto es porque el 12 estaba multiplicando a todos los elementos del numerador.
De esta forma hemos conseguido quitar todos los denominadores de la ecuación y ya podemos resolverla como una ecuación de primer grado normal.
Así que ahora hacemos las multiplicaciones resultantes de la simplificación de fracciones:
Colocamos los términos con incógnita en un miembro de la ecuación y los términos sin incógnita en el otro miembro:
Sumamos y restamos los términos que son semejantes:
Y, por último, despejamos la incógnita:
Por lo que la solución de la ecuación de primer grado con fracciones es x=6.
Existe otro tipo de ecuaciones con fracciones muy similar que son las ecuaciones fraccionarias, sin embargo, son mucho más difícil de resolver. Haz click aquí para ver cómo se solucionan las ecuaciones fraccionarias.
Ecuaciones de primer grado con fracciones y paréntesis
Acabamos de ver cómo hacer ecuaciones de primer grado con fracciones, sin embargo, este tipo de ecuaciones aún se pueden complicar más añadiéndoles paréntesis.
Para resolver una ecuación de primer grado con fracciones y paréntesis primero debemos eliminar los paréntesis aplicando la propiedad distributiva, y luego solucionamos la ecuación resultante como una ecuación con denominadores normal (utilizando el método visto arriba).
A modo de ejemplo, a continuación resolveremos una ecuación de primer grado que tiene fracciones y paréntesis:
La igualdad anterior consiste en una ecuación con un denominador y un paréntesis, por tanto, primero tenemos que quitar el paréntesis usando la propiedad distributiva:
Entonces, para quitar las fracciones de la ecuación debemos multiplicarla por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Pero en este problema solo tenemos un denominador (4), con lo que simplemente tenemos que multiplicar toda la ecuación por 4:
Simplificamos los denominadores:
Ahora hacemos las operaciones resultantes:
Ponemos los monomios con x en el lado izquierdo de la ecuación y los términos independientes en el miembro derecho:
Agrupamos los términos de cada lado:
Y, para terminar, despejamos la variable x:
Así que la solución de la ecuación de primer grado con paréntesis y fracciones es x=-1.
Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado con fracciones
A continuación te hemos preparado varios ejercicios resueltos paso a paso de ecuaciones de primer grado con fracciones (o denominadores), para que así puedas practicar. 😉 Están ordenados por dificultad, de manera que las primeras ecuaciones son más fáciles y las últimas son las más complicadas. Recuerda también que puedes dejarnos cualquier duda que tengas sobre las soluciones en los comentarios.⬇⬇⬇
Ejercicio 1
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado con fracciones:
En primer lugar, debemos encontrar el m.c.m. entre los denominadores de la ecuación lineal, que en este caso es 10:
Por lo tanto, multiplicamos por 10 cada término de la ecuación para eliminar las fracciones:
Ahora simplificamos las fracciones dividiendo el 10 entre el denominador:
Calculamos las multiplicaciones:
Pasamos los monomios a un lado y los términos independientes al otro lado:
Sumamos y restamos los términos de cada lado:
Y finalmente despejamos la incógnita x:
Ejercicio 2
Calcula la siguiente ecuación de primer grado con fracciones:
Primero de todo, tenemos que averiguar el m.c.m. entre los denominadores de las fracciones, que en este problema es 12:
De modo que multiplicamos por 12 cada término de la ecuación para quitar los denominadores:
Simplificamos los denominadores dividiendo el 12 entre cada denominador:
Realizamos las multiplicaciones resultantes:
Pasamos los elementos con x a un lado de la ecuación y los números sin x al otro lado:
Agrupamos los términos de cada lado:
Y, para terminar, despejamos x:
Ejercicio 3
Soluciona la siguiente ecuación de primer grado con fracciones:
El primer paso es hallar el m.c.m. entre los denominadores de la ecuación, que en este ejercicio es 12:
Así debemos multiplicar por 12 cada elemento de la ecuación para quitar las fracciones:
Simplificamos las fracciones calculando la división entre 12 y cada denominador:
Solucionamos las multiplicaciones:
Movemos los términos con incógnita al miembro izquierdo de la ecuación y los términos sin incógnita al otro miembro:
Sumamos y restamos los términos de cada miembro:
Y, finalmente, hallamos la incógnita x:
Ejercicio 4
Halla la x de la siguiente ecuación de primer grado con fracciones:
Lo primero que debemos hacer para solucionar una ecuación de este tipo es encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores, que en este problema es 14:
Por lo tanto, multiplicamos cada término de la ecuación por el m.c.m. para quitar los denominadores:
Luego simplificamos las fracciones dividiendo el 14 entre cada denominador:
![2(3-x) -14 \cdot 3x = 1\bigl[3+2(x-1)\bigr] - 14 \cdot 2x](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4824d7685d3a09c89641c278ceb4e74a_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Hacemos todas las multiplicaciones:
Ponemos los términos con x en un miembro y los términos independientes en el otro miembro:
Sumamos y restamos los términos semejantes (del mismo grado):
Y, para acabar, solo nos queda despejar la incógnita x:
Ejercicio 5
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado con denominadores y paréntesis:
Antes de simplificar las fracciones, debemos eliminar los paréntesis. Y, para ello, debemos aplicar la propiedad distributiva:
Ahora sí, calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
Multiplicamos cada término de la ecuación por el m.c.m. para así quitar los denominadores:
Simplificamos las fracciones dividiendo el 30 entre cada denominador:
Hacemos todas las multiplicaciones:
Pasamos los términos con x a un lado y los términos sin x al otro lado:
Agrupamos los términos de cada miembro:
Y hallamos la x:
Ejercicio 6
Soluciona la siguiente ecuación de primer grado con fracciones y paréntesis:
![\displaystyle 2-\frac{5}{4}=6x-\frac{4}{7}\left[5-\frac{1}{3}\left(4-9x\right)\right]](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-91149d9f0b5f18d77f56b3085016105f_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Lo primero que debemos hacer es quitar los paréntesis y los corchetes de la ecuación. Por lo tanto, aplicamos la propiedad distributiva 2 veces para resolver los paréntesis y los corchetes:
![\displaystyle 2-\frac{5}{4}=6x-\frac{4}{7}\left[5-\frac{1}{3}\cdot 4-\frac{1}{3}\cdot (-9x)\right]](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7d485cce66dad4b2093e2bc18c6b06b_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\displaystyle 2-\frac{5}{4}=6x-\frac{4}{7}\left[5-\frac{4}{3}+\frac{9x}{3}\right]](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-85a03ca9f579a6ddf74f6be6060d2958_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\displaystyle 2-\frac{5}{4}=6x-\frac{4}{7}\left[5-\frac{4}{3}+3x\right]](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b79c2bc963fa5d3f14e9910b9ab84076_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
En segundo lugar, determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
Multiplicamos toda la ecuación por el m.c.m. para así luego poder quitar las fracciones:
Eliminamos las fracciones resolviendo la división entre el 84 y cada denominador:
Multiplicamos los términos:
Pasamos los términos con x al miembro izquierdo y los términos sin x al miembro derecho:
Sumamos y restamos los monomios de cada lado:
Y, finalmente, despejamos la incógnita x:
Favor de correguir el ejercicio 6 en el despeje de la incógnita x:
-360x = – 239
x= (- 239)/(- 360)
x= 239/360
Que es la respuesta correcta.
Y no:
x= 260/239
¡Muchas Gracias!
Tienes razón David, se había hecho la división al revés, los números del numerador y del denominador estaban intercambiados.
Ya se ha corregido, ¡muchas gracias por avisar! 😉