▷ Ecuaciones bicúbicas (o ecuaciones tricuadradas)

En este post te explicamos qué es una ecuación bicúbica (o tricuadrada) y cómo se resuelve. Además, encontrarás varias ecuaciones bicúbicas resueltas paso a paso para que entiendas perfectamente cómo se hacen.

Índice

¿Qué son las ecuaciones bicúbicas (o tricuadradas)?

Las ecuaciones bicúbicas, también llamadas ecuaciones tricuadradas, son ecuaciones que solamente tienen un término de sexto grado, un término de tercer grado, y un término independiente. Es decir, las ecuaciones bicúbicas (o tricuadradas) son de la forma ax⁶+bx³+c=0.

$ax^6+bx^3+c=0$

Las ecuaciones bicúbicas se solucionan de una manera muy similar a las ecuaciones bicuadradas. Por eso, antes de seguir con la explicación te recomiendo que le eches un vistazo a cómo hacer ecuaciones bicuadradas, así lo entenderás mejor.

Cómo resolver ecuaciones bicúbicas (o tricuadradas)

Los pasos que se deben hacer para resolver las ecuaciones bicúbicas o tricuadradas son:

Hacer un cambio de variable (x³=t), para transformar la ecuación bicúbica en una ecuación de segundo grado.
Resolver la ecuación de segundo grado obtenida en el paso anterior aplicando la fórmula general.
Deshacer el cambio de variable y calcular las soluciones de la ecuación bicúbica (o tricuadrada).

Para que puedas ver cómo se resuelven las ecuaciones bicúbicas o tricuadradas, a continuación hemos resuelto paso a paso una ecuación de este tipo a modo de ejemplo.

Ejemplo de una ecuación bicúbica (o tricuadrada) resuelta

Así pues, vamos a explicar paso a paso la resolución de un ejemplo de ecuación bicúbica, también conocida como ecuación tricuadrada, para ver exactamente cómo se solucionan este tipo de ecuaciones:

$x^6-9x^3+8=0$

Efectivamente, se trata de una ecuación bicúbica porque solo tiene 3 elementos: uno de grado 6, otro de grado 3, y por último un número sin incógnita.

Entonces, para resolver la ecuación bicúbica tenemos que hacer un cambio de variable x³=t, y por tanto x⁶=t², para convertir la ecuación bicúbica en una ecuación de segundo grado:

$x^3=t \qquad x^6=t^2$

$t^2-9t+8=0$

Aplicando este cambio de variable hemos podido transformar la ecuación bicúbica en una ecuación de segundo grado. Por lo que simplemente tenemos que utilizar fórmula general de las ecuaciones de segundo grado para resolver dicha ecuación:

$\begin{aligned} t& =\cfrac{-(-9)\pm \sqrt{(-9)^2-4\cdot 1 \cdot 8}}{2\cdot 1}=\\[2ex]&=\cfrac{+9\pm\sqrt{49}}{2} =\cfrac{9\pm7 }{2} = \begin{cases} \cfrac{9+7}{2}=8 \\[3ex] \cfrac{9-7}{2}= 1\end{cases} \end{aligned}$

Finalmente, tenemos que deshacer el cambio de variable para determinar los valores de la incógnita x. Y, para ello, debemos calcular la raíz cúbica de cada valor obtenido en el paso anterior:

Si t=8:

$x^3=t$

$x^3=8$

$x=\sqrt[3]{8}$

$x=2$

Si t=1:

$x^3=t$

$x^3=1$

$x=\sqrt[3]{1}$

$x=1$

En realidad, las raíces cúbicas tienen más soluciones, pero son soluciones complejas. En nuestro caso estudiaremos únicamente las soluciones reales.

Por lo tanto, las dos soluciones reales de la ecuación bicúbica son:

$\bm{x=2 \qquad x=1}$

Evidentemente, aún existen ecuaciones más difíciles de resolver. Aquí puedes ver más tipos de ecuaciones de grado superior a dos.

Ejercicios resueltos de ecuaciones bicúbicas (o tricuadradas)

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente ecuación bicúbica:

$x^6-26x^3-27=0$

Ver solución

La ecuación del ejercicio es bicúbica porque está formada por un término de grado 6, un término intermedio de grado 3, y un término independiente (grado 0).

Así pues, para solucionar la ecuación bicúbica tenemos que aplicar el cambio de variable x³=t y x⁶=t² para transformarla en una ecuación cuadrática:

$x^3=t \qquad x^6=t^2$

$t^2-26t-27=0$

Ahora resolvemos la ecuación cuadrática resultante con la fórmula general:

$\begin{aligned} t& =\cfrac{-(-26)\pm \sqrt{(-26)^2-4\cdot 1 \cdot (-27)}}{2\cdot 1}=\\[2ex] & =\cfrac{+26\pm\sqrt{784}}{2} =\cfrac{26\pm28}{2}=\begin{cases}\cfrac{26+28}{2}=\cfrac{54}{2}=27\\[3ex]\cfrac{26-28}{2}=\cfrac{-2}{2}=-1\end{cases} \end{aligned}$

Y, para terminar, deshacemos el cambio de variable calculando la raíz cúbica de cada valor de t obtenido:

Si t=27:

$x^3=t$

$x^3=27$

$x=\sqrt[3]{27}$

$x=3$

Si t=-1:

$x^3=t$

$x^3=-1$

$x=\sqrt[3]{-1}$

$x=-1$

Fíjate que, a diferencia de las raíces cuadradas, las raíces cúbicas sí que tienen soluciones negativas.

En definitiva, las dos soluciones reales de la ecuación bicúbica son:

$\bm{x=3 \qquad x=-1}$

Ejercicio 2

Resuelve la siguiente ecuación tricuadrada:

$x^6+16x^3+64=0$

Ver solución

La ecuación de este problema es tricuadrada porque tiene un término de sexto grado, un término intermedio de tercer grado, y un término independiente.

Para resolver la ecuación tricuadrada debemos hacer el cambio de variable x³=t y x⁶=t², para así transformar la ecuación de sexto grado en una expresión de segundo grado:

$x^3=t \qquad x^6=t^2$

$t^2+16t+64=0$

Calculamos la ecuación de segundo grado completa resultante con la fórmula general:

$\begin{aligned} t& =\cfrac{-16\pm \sqrt{16^2-4\cdot 1 \cdot 64}}{2\cdot 1}=\\[2ex] &\cfrac{-16\pm \sqrt{256-256}}{2} =\cfrac{-16\pm\sqrt{0}}{2}=-8 \end{aligned}$

En este caso hemos obtenido un único valor de la ecuación de segundo grado, por lo que solo tenemos que deshacer el cambio de variable una vez:

$x^3=t$

$x^3=-8$

$x=\sqrt[3]{-8}$

$\bm{x=-2}$

De manera que la ecuación tricuadrada de este ejercicio tiene una única solución.

Ejercicio 3

Calcula la siguiente ecuación bicúbica:

$x^6+55x^3-576=0$

Ver solución

Como en todas las ecuaciones bicúbicas, primero hacemos el cambio de variable x³=t y x⁶=t²:

$x^3=t \qquad x^6=t^2$

$t^2+55t-576=0$

En segundo lugar, calculamos la ecuación de segundo grado resultante:

$\begin{aligned}t& =\cfrac{-55\pm \sqrt{55^2-4\cdot 1 \cdot (-576)}}{2\cdot 1}=\\[2ex]& =\cfrac{-55\pm\sqrt{5329}}{2} =\cfrac{-55\pm73}{2}=\\[2ex]&=\begin{cases}\cfrac{-55+73}{2}=\cfrac{18}{2}=9\\[3ex]\cfrac{-55-73}{2}=\cfrac{-128}{2}=-64\end{cases} \end{aligned}$

Y, finalmente, deshacemos el cambio de variable efectuando la raíz cúbica de cada valor de t hallado:

Si t=9:

$x^3=t$

$x^3=9$

$x=\sqrt[3]{9}$

Si t=-64:

$x^3=t$

$x^3=-64$

$x=\sqrt[3]{-64}$

$x=-4$

Así que las dos soluciones reales de la ecuación bicúbica son:

$\bm{x=\sqrt[3]{9} \qquad x=-4}$

Ejercicio 4

Resuelve la siguiente ecuación bicúbica con fracciones:

$\displaystyle x^6-\frac{1001x^3}{8}+\frac{125}{8}=0$

Ver cómo resolver ecuaciones de segundo grado con fracciones.

Ver solución

En primer lugar, multiplicaremos todos los términos de la ecuación tricuadrada por 8 para eliminar las fracciones:

$\displaystyle 8\cdot x^6-8\cdot\frac{1001x^3}{8}+8\cdot\frac{125}{8}=0$

$8x^6-1001x^3+125=0$

Ahora hacemos el cambio de variable x³=t y x⁶=t² para transformar la ecuación tricuadrada en una ecuación de segundo grado:

$x^3=t \qquad x^6=t^2$

$8t^2-1001t+125=0$

Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante usando la fórmula general:

$\begin{aligned}t& =\cfrac{-(-1001)\pm \sqrt{(-1001)^2-4\cdot8\cdot125}}{2\cdot8}=\\[2ex]& =\cfrac{+1001\pm\sqrt{998001}}{16} =\cfrac{1001\pm999}{16}=\\[2ex]&=\begin{cases}\cfrac{1001+999}{16}=\cfrac{2000}{16}=125\\[3ex]\cfrac{1001-999}{16}=\cfrac{2}{16}=\cfrac{1}{8}\end{cases} \end{aligned}$