En este post te explicamos cómo se resuelven las ecuaciones de segundo grado con paréntesis. Además, podrás ver ejemplos resueltos de este tipo de ecuaciones e, incluso, practicar con ejercicios de ecuaciones de segundo grado con paréntesis resueltas paso a paso.
Índice
Cómo resolver ecuaciones de segundo grado con paréntesis
Para resolver una ecuación de segundo grado con paréntesis se deben seguir los siguientes pasos:
- Resolver los paréntesis de la ecuación aplicando la propiedad distributiva.
- Trasponer todos los términos al primer miembro, es decir, colocar todos los términos de la ecuación al miembro de la izquierda.
- Agrupar los términos semejantes de la ecuación.
- Aplicar la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado.
Siguiendo estos pasos por orden se puede solucionar cualquier ecuación se segundo grado que tenga paréntesis. Así pues, para que veas exactamente cómo se hace, en el siguiente apartado te mostramos la resolución de un ejemplo paso a paso.
Pero para poder hallar este tipo de ecuaciones lógicamente debes saber cómo se resuelven los paréntesis, así que primero haremos un repaso rápido:
• Si delante de un paréntesis hay un término multiplicando el paréntesis (con o sin x), se multiplica cada elemento del paréntesis por dicho número:
⇨ Fíjate que multiplicar dos términos con x da como resultado un término con x elevada al cuadrado:
• Si delante del paréntesis solamente tenemos un signo positivo es como si hubiera un 1, por lo que se puede quitar el paréntesis y simplemente mantener los números:
• En cambio, cuando delante del paréntesis tenemos un signo negativo es como si hubiera un -1, y, por tanto, se debe cambiar el signo de cada término de dentro del paréntesis:
Ejemplo de ecuación de segundo grado con paréntesis resuelta
Para acabar de entender el concepto, vamos a ver cómo se calcula una ecuación de segundo grado con paréntesis resolviendo un ejemplo paso a paso:
Lo primero que debemos hacer es eliminar los paréntesis. Para ello, aplicamos la propiedad distributiva:
En segundo lugar, trasponemos los términos de manera que todos queden en el lado izquierdo de la ecuación. Recuerda que cuando cambiamos un término de miembro también debemos cambiarle su signo.
Ahora sumamos y restamos los términos del mismo grado:
Y, una vez hemos simplificado la ecuación, aplicamos la fórmula general para hallar las dos soluciones de la ecuación de segundo grado:
![\begin{aligned} x&= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\[2ex] & =\cfrac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot (-2)\cdot (-2)}}{2\cdot (-2)} = \\[2ex] & = \cfrac{-5 \pm \sqrt{25-16}}{-4} = \\[2ex] &= \cfrac{-5 \pm \sqrt{9}}{-4}= \\[1.5ex] & =\cfrac{-5 \pm 3}{-4} = \begin{cases} \cfrac{-5 + 3}{-4} = \cfrac{-2}{-4} = \mathbf{\cfrac{1}{2}} \\[3ex] \cfrac{-5 - 3}{-4} = \cfrac{-8}{-4} = \bm{2} \end{cases} \end{aligned}](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ba2d8f46f9fab9e3920f7a41f03af516_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Y de esta forma ya hemos solucionado la ecuación cuadrática con paréntesis.
Cuando las ecuaciones de segundo grado tienen paréntesis y fracciones se debe hacer un procedimiento diferente para resolverlas. Por eso te recomendamos que también veas cómo se calculan las ecuaciones de segundo grado con fracciones y paréntesis.
Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado con paréntesis
Ejercicio 1
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado con paréntesis:
En primer lugar, tenemos que quitar los paréntesis y, para ello, debemos aplicar la propiedad distributiva:
Luego colocamos todos los monomios en el miembro izquierdo de la ecuación:
Agrupamos los términos con el mismo grado:
Y, finalmente, utilizamos la fórmula de la ecuación de segundo grado:
![\begin{aligned} x&= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\[2ex] & =\cfrac{-(-9)\pm \sqrt{(-9)^2-4\cdot (-1)\cdot (-8)}}{2\cdot (-1)} = \\[2ex] & = \cfrac{+9 \pm \sqrt{81-32}}{-2} = \\[2ex] &= \cfrac{9 \pm \sqrt{49}}{-2}= \\[1.5ex] & =\cfrac{9 \pm 7}{-2} = \begin{cases} \cfrac{9+ 7}{-2} =\cfrac{16}{-2} = \bm{-8} \\[3ex] \cfrac{9-7}{-2} =\cfrac{2}{-2} = \bm{-1}\end{cases} \end{aligned}](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c32c67105fbd10a4ca728e4f55731e7_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ejercicio 2
Calcula la siguiente ecuación cuadrática con paréntesis:
Ver: cómo resolver ecuaciones cuadráticas incompletas puras
Primero de todo operamos los paréntesis con la propiedad distributiva:
Luego ponemos todos los elementos en el lado izquierdo de la ecuación:
Sumamos y restamos los términos semejantes:
En este problema tenemos una ecuación de segundo grado incompleta sin término de primer grado, por lo tanto, no tenemos que aplicar la fórmula general sino despejar la incógnita x:
Y, por último, hacemos la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación:
Así que las soluciones de la ecuación cuadrática son +2 y -2.
Ejercicio 3
Soluciona la siguiente ecuación de segundo grado con paréntesis y corchetes:
![2\bigl[x^2-4x\left(x+3\right)\bigr]-7=3x+5](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7e8048a36284662c7efdfcd7529e4f68_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
El primer paso del procedimiento consiste en eliminar todos los paréntesis. Pero en este problema tenemos un paréntesis dentro de un corchete, por lo que tenemos que aplicar la propiedad distributiva dos veces:
![2\bigl[x^2-4x\cdot x+4x\cdot 3\bigr]-7=3x+5](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aee8ec606425ef19b5651f7af5fd454f_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![2\bigl[x^2-4x^2-12x \bigr]-7=3x+5](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4439ca322d9a51d527d4a22b91e2cede_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Trasponemos todos los elementos al miembro izquierdo de la ecuación:
Sumamos y restamos los términos con el mismo grado:
En este problema tenemos una ecuación de segundo grado completa, así que aplicamos la fórmula general de la ecuación cuadrática:
![\begin{aligned} x&= \cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \\[2ex] & =\cfrac{-(-27)\pm \sqrt{(-27)^2-4\cdot (-6)\cdot (-12)}}{2\cdot (-6)} = \\[2ex] & = \cfrac{+27 \pm \sqrt{729-288}}{-12} = \\[2ex] &= \cfrac{27 \pm \sqrt{441}}{-12}= \\[1.5ex] & =\cfrac{27 \pm 21}{-12} = \begin{cases} \cfrac{27+21}{-12}=\cfrac{48}{-12}= \bm{-4} \\[3ex] \cfrac{27-21}{-12}=\cfrac{6}{-12}= \bm{-}\mathbf{\cfrac{1}{2}}\end{cases} \end{aligned}](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-59b975f3554fddda9da555cca51a49ae_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
