Inecuaciones con fracciones

Aquí explicamos cómo se resuelven las inecuaciones con fracciones. Además, encontrarás varios ejercicios resueltos paso a paso de inecuaciones con fracciones para que puedas practicar.

inecuaciones con fracciones

Cómo resolver inecuaciones con fracciones

Para resolver una inecuación con fracciones se deben seguir los siguientes pasos:

  1. Calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores de la inecuación.
  2. Multiplicar toda la inecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir, multiplicar cada término de la inecuación por el mcm.
  3. Simplificar las fracciones de la inecuación.
  4. Resolver la inecuación sin fracciones.

Por lo tanto, para poder solucionar una inecuación con fracciones primero debes dominar, lógicamente, cómo se resuelven las inecuaciones normales. Si no es el caso, puedes practicar con estos ejercicios resueltos de inecuaciones de primer grado.

Además, no debes confundir las inecuaciones que tienen fracciones simples con las inecuaciones fraccionarias. Aunque sus nombres son parecidos, son dos tipos de inecuaciones totalmente distintas. Puedes ver cuáles son las diferencias entre ellas en esta página enlazada.

Así pues, aplicando el método explicado arriba se puede hallar una inecuación con fracciones. Para que veas cómo se aplica, en el siguiente apartado te mostramos la resolución de un ejemplo paso a paso.

Pero para poder resolver este tipo de inecuaciones es imprescindible que sepas cómo se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 2 o más números, por lo que antes haremos un repaso muy rápido.

m.c.m.(10,12) = \ ?

1. Para hallar el mínimo común múltiple entre dos números primero debemos hacer su descomposición factorial:

\displaystyle \begin{array}{c}\vphantom{\begin{array}{r|c} 12&2\\6&2\\3&3\\1& \end{array}}\begin{array}{r|c} 10&2\\5&5\\1& \end{array} \\ \\ 10=2\cdot 5 \end{array} \qquad \begin{array}{c} \begin{array}{r|c} 12&2\\6&2\\3&3\\1& \end{array} \\ \\ 12=2^2\cdot 3 \end{array}

2. Y luego debemos multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia:

m.c.m.(10,12) = 2^2\cdot 3 \cdot 5 = \bm{60}

De modo que el mínimo común múltiplo entre 10 y 12 es igual a 60.

Ejemplo de una inecuación con fracciones resuelta

Para que puedas entender del todo cómo se calculan las inecuaciones con fracciones (o denominadores) vamos a resolver un ejemplo explicándolo paso a paso:

 \cfrac{1}{2}-\cfrac{5x}{4}>1-\cfrac{4x+1}{3}

En primer lugar, tenemos que hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores (2, 4 y 3), que en este caso es 12:

 m.c.m.(2,3,4) = \color{orange}\bm{12}

Luego, debemos multiplicar cada término de la inecuación por el valor del m.c.m. hallado en el paso anterior:

  \color{orange}\bm{12}\color{black}\cdot\cfrac{1}{2}- \color{orange}\bm{12}\color{black}\cdot\cfrac{5x}{4}> \color{orange}\bm{12}\color{black}\cdot1- \color{orange}\bm{12}\color{black}\cdot \cfrac{4x+1}{3}

Ahora simplificamos todas las fracciones de la inecuación dividendo el 12 entre cada denominador:

  \color{orange}\bm{6}\color{black}\cdot 1- \color{orange}\bm{3}\color{black}\cdot 5x> 12\cdot1- \color{orange}\bm{4}\color{black}\cdot (4x+1)

Fíjate que cuando en el numerador de la fracción hay más de un término debemos poner un paréntesis al eliminar el denominador.

\begin{array}{c}12 \cdot \cfrac{4x+1}{3}\\[3ex] \bm{\downarrow} \\[2ex] 4\cdot (4x+1) \end{array}

Esto es debido a que el 12 estaba multiplicando a todos los elementos del numerador.

Como puedes comprobar, con este procedimiento hemos logrado eliminar todos los denominadores de la inecuación y, por lo tanto, ya podemos resolverla como una inecuación de primer grado normal.

Así que hacemos las multiplicaciones resultantes de la simplificación de fracciones:

  6- 15x> 12- 4 \cdot 4x-4\cdot 1

  6- 15x> 12- 16x-4

Ponemos los términos con incógnita en el primer miembro de la inecuación y los términos independientes en el segundo miembro:

 - 15x+16x> 12-4-6

Y agrupamos los términos de cada miembro:

 x> 2

De manera la inecuación se cumple siempre que la x sea más grande que 2. Por lo tanto, la representación de la solucion en la recta numérica es:

solucion de una inecuacion de primer grado con fracciones o denominadores

En definitiva, el intervalo solución de la inecuación de primer grado con fracciones es:

 x \in (2,+\infty)

Ahora que ya has visto cómo se resuelven las inecuaciones con fracciones, puede que te interese otro tipo de inecuaciones: las inecuaciones con valor absoluto. De hecho, las inecuaciones con valor absoluto se resuelven de una manera distinta a todos los otros tipos de inecuaciones.

Ejercicios resueltos de inecuaciones con fracciones

Ejercicio 1

Resuelve la siguiente inecuación de primer grado con fracciones:

\cfrac{2x}{9}-\cfrac{2}{3}\leq 2-\cfrac{x+2}{6}

Lo primero que debemos hacer para calcular una desigualdad con fracciones es averiguar el mínimo común múltiplo de los denominadores (3, 6 y 9), que en este problema es 18:

 m.c.m.(3,6,9) = 18

En segundo lugar, multiplicamos cada término de la inecuación por el mínimo común múltiplo:

18\cdot \cfrac{2x}{9}-18\cdot\cfrac{2}{3}\leq 18\cdot 2-18\cdot \cfrac{x+2}{6}

Luego simplificamos las fracciones de la inecuación dividendo el 18 entre cada denominador:

2\cdot 2x -6\cdot 2 \leq 18 \cdot 2-3\cdot (x+2)

Calculamos las multiplicaciones:

4x -12 \leq 36-3x-6

Ponemos los monomios con incógnita en el primer miembro de la inecuación y los términos sin incógnita en el segundo miembro:

4x +3x\leq 36-6+12

Sumamos y restamos los términos de cada miembro:

 7x \leq 42

Y, finalmente, despejamos la incógnita x:

 x \leq \cfrac{42}{7}

 \bm{x \leq 6}

Así que la inecuación se cumple siempre que la x sea más pequeña o igual que 6. Por lo tanto, la representación de la inecuación en la recta numérica es:

ejercicio resuelto inecuaciones con fracciones

Y el intervalo solución de la inecuación de primer grado con denominadores es:

 \bm{x \in (-\infty,6]}

 

Ejercicio 2

Soluciona la siguiente desigualdad de primer grado con fracciones:

3x-\cfrac{x}{6}+\cfrac{4x-1}{4}+3>\cfrac{6x+3}{2}

Primero todo tenemos que averiguar el mínimo común múltiplo de los denominadores de la desigualdad, que en este problema es 12:

 m.c.m.(2,4,6) =12

En segundo lugar, multiplicamos cada término de la inecuación de primer grado por el mínimo común múltiplo determinado en el paso anterior:

12 \cdot 3x-12 \cdot\cfrac{x}{6}+12 \cdot\cfrac{4x-1}{4}+12 \cdot 3>12 \cdot \cfrac{6x+3}{2}

Simplificamos las fracciones de la inecuación dividendo el 12 entre cada denominador:

12 \cdot 3x-2 \cdot x+3 \cdot (4x-1)+12 \cdot 3>6 \cdot (6x+3)

Multiplicamos:

36x-2x+12x-3+36>36x+18

Colocamos los términos con x al miembro izquierdo de la inecuación y los términos sin x al otro miembro:

36x-2x+12x-36x>18+3-36

Agrupamos los términos semejantes:

10x>-15

Despejamos la incógnita:

 x > \cfrac{-15}{10}

 \bm{x >-} \mathbf{\cfrac{3}{2}}

Representamos en la recta numérica la solución calculada:

inecuaciones con fracciones 1 bachillerato igualadas a 0

Y, por tanto, el intervalo solución de la inecuación es:

 \displaystyle x \in \left(-\frac{3}{2},+\infty\right)

 

Ejercicio 3

Calcula la siguiente inecuación de primer grado con fracciones:

\cfrac{x-2}{4}+\cfrac{2\left(1-2x\right)}{5}\geq \cfrac{4-\left(x+3\right)}{3}

El primer paso para calcular una inecuación lineal con fracciones es determinar el mínimo común múltiplo entre sus denominadores:

 m.c.m.(3,4,5) =60

Ahora multiplicamos cada elemento de la desigualdad por el mínimo común múltiplo hallado:

 60 \cdot \cfrac{x-2}{4}+60 \cdot\cfrac{2\left(1-2x\right)}{5}\geq 60 \cdot\cfrac{4-\left(x+3\right)}{3}

En tercer lugar, simplificamos las fracciones de la inecuación dividendo el 60 entre cada denominador:

 15 \cdot (x-2)+12 \cdot\bigl[2\left(1-2x)\bigr] \geq 20 \cdot \bigl[4-\left(x+3\right)\bigr]

Resolvemos los paréntesis y los corchetes de la inecuación aplicando la propiedad distributiva:

 15x-30+12 \cdot\bigl[2-4x\bigr] \geq 20 \cdot \bigl[4-x-3\bigr]

 15x-30+24-48x \geq 80-20x-60

Movemos los elementos con x al lado izquierdo de la desigualdad y los términos sin x al lado derecho:

 15x-48x+20x \geq 80-60+30-24

Sumamos y restamos los términos semejantes:

 -13x \geq 26

Y, por último, despejamos la incógnita x:

 x \leq \cfrac{26}{-13}

 \bm{x \leq -2}

Recuerda que cuando en una inecuación cambiamos de lado un número negativo hay que invertir el signo de la desigualdad.

De modo que la inecuación se cumple cuando la variable x es más pequeña o igual que -2. Por lo que la representación en la recta de la inecuación es:

inecuaciones con fracciones resueltas

Y, en conclusión, el intervalo solución de la inecuación lineal con fracciones es:

 \bm{x \in (-\infty,-2]}

 

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2 comentarios en “Inecuaciones con fracciones”

  1. Saúl Marín Rosas

    Está explicado de manera sencilla, pero muy entendible el procedimiento, les felicito ampliamente. muchas gracias, me sirvió de mucho.

    1. Ejercicios de Ecuaciones

      ¡Muchísimas gracias Saúl! ¡Espero que te haya sido útil!

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