Sistema de ecuaciones incompatible

En esta página encontrarás qué es un sistema incompatible. También te explicamos cuándo un sistema es incompatible y, además, podrás ver un ejemplo en el que se entiende perfectamente.

¿Qué es un sistema incompatible?

Un sistema incompatible es un sistema de ecuaciones que no tiene solución, es decir, las ecuaciones de un sistema incompatible no se cumplirán por ningún valor de sus incógnitas.

En este sentido, los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según su número de soluciones: un sistema incompatible (SI) no tiene ninguna solución, un sistema compatible determinado (SCD) tiene una única solución, y un sistema compatible indeterminado (SCI) tiene infinitas soluciones.

¿Cuándo un sistema es incompatible?

Acabamos de ver en qué consiste un sistema incompatible, pero ahora estudiaremos cómo se puede saber si un sistema es incompatible o no.

Un sistema de ecuaciones es incompatible cuando se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• La representación gráfica de las ecuaciones del sistema da lugar a dos rectas paralelas.
• Al intentar resolver numéricamente el sistema se obtiene una ecuación sin solución.
• Los coeficientes de las variables x e y son proporcionales entre sí, pero no con los términos independientes.

Así escrito puede parecerte que es difícil identificar un sistema incompatible, por eso a continuación hemos resuelto un ejemplo para que lo puedas entender mejor.

Ejemplo de sistema incompatible

Así pues, para que puedas comprender mejor el concepto de sistema de ecuaciones lineales incompatible, vamos a solucionar el siguiente ejemplo:

En primer lugar, aunque es difícil verlo a simple vista, podríamos darnos cuenta de que los coeficientes de las variables son proporcionales entre sí pero no con los términos independientes, lo que significa que se trata de un sistema incompatible.

Pero imaginémonos que no hemos visto esta característica del sistema.

Entonces, intentaríamos resolver el sistema con algún procedimiento (método de sustitución, de reducción, de igualación o gráfico). En este caso utilizaremos el método de sustitución ya que es el más sencillo.

Así que despejamos la incógnita y de la primera ecuación:

Ahora sustituimos la expresión algebraica obtenida en la otra ecuación:

Y hallamos el valor de la incógnita x:

Pero la igualdad que hemos obtenido nunca se cumplirá, porque 0 nunca será igual a -8. De modo que el sistema de ecuaciones lineales no se puede resolver y, por lo tanto, es un sistema incompatible.

Por otro lado, también se puede demostrar la incompatibilidad del sistema representando gráficamente las dos ecuaciones:

Las dos rectas representadas en el gráfico son paralelas (nunca se cortan), así que el sistema es incompatible y no tiene ninguna solución.

No debes confundir un sistema incompatible con un sistema no lineal, ya que son conceptos radicalmente diferentes. Aquí puedes ver qué es un sistema de ecuaciones no lineales.

Sistemas incompatibles de 3 o más ecuaciones

Acabamos de analizar cómo son los sistemas incompatibles con dos ecuaciones y dos incógnitas. Pero, lógicamente, un sistema puede tener más ecuaciones. A continuación te introduciremos un método que sirve para determinar si un sistema con más de 2 ecuaciones es incompatible.

El método más utilizado para determinar la compatibilidad (o incompatibilidad) de sistemas de grandes dimensiones es el teorema de Rouché-Frobenius, un teorema que permite averiguar qué tipo de sistema se trata calculando el rango de las matrices formadas por los coeficientes del sistema. Sin embargo, para poder aplicar este teorema se necesita un conocimiento de matemáticas más avanzado.

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