▷ Número de soluciones de una ecuación de segundo grado

En esta página te explicamos cómo se puede saber el número de soluciones que tiene una ecuación de segundo grado de manera fácil (sin aplicar la fórmula). También te enseñamos las propiedades que tienen las soluciones cualquier ecuación de este tipo. Y, finalmente, te mostramos cómo se puede obtener la expresión de una ecuación de segundo grado conociendo solamente sus soluciones.

Pero antes de analizar matemáticamente las soluciones que tiene una ecuación de grado 2, repasemos brevemente qué es una ecuación de segundo grado (o cuadrática): una ecuación de segundo grado es una igualdad algebraica formada por, como mínimo, una incógnita elevada al cuadrado.

Índice

Cómo saber el número de soluciones de una ecuación de segundo grado

Calculando el discriminante de una ecuación de segundo grado se puede determinar cuántas soluciones tiene. Así pues, la fórmula del discriminante es la siguiente.

numero de soluciones que tiene una ecuacion de segundo grado

El signo del discriminante (Δ=b²-4ac) determina el número de soluciones de una ecuación de segundo grado:

Si el discriminante es positivo (Δ>0), la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones diferentes.
Si el discriminante es nulo (Δ=0), la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones iguales.
Si el discriminante es negativo (Δ<0), la ecuación de segundo grado no tiene ninguna solución real.

Para acabar de entender este concepto matemático, vamos a hallar el número de soluciones (o raíces) de la siguiente ecuación cuadrática:

$x^2+5x+4 = 0$

Para averiguar el número de soluciones de la ecuación de grado 2 tenemos que calcular el discriminante, cuya fórmula es:

$\Delta = b^2-4ac$

De manera que para hallar el discriminante simplemente debemos sustituir las variables de la fórmula por sus valores correspondientes: $a$ es el coeficiente del término cuadrático que en este caso es 1, $b$ es el término que acompaña al término de primer grado que es 5, y $c$ es el término independiente, esto es, 4.

$\begin{aligned} \Delta & = 5^2-4\cdot 1\cdot 4 \\[1.5ex] & = 25 -16 \\[1.5ex] & = 9 \color{orange} \end{aligned}$

El discriminante de la ecuación de segundo grado es positivo, por lo tanto, la ecuación posee 2 soluciones distintas.

Como acabamos de ver, este método sirve para calcular el número de soluciones que tiene cualquier ecuación de segundo grado. Sin embargo, con este método no se puede saber el valor de dichas soluciones ya que esto es más complicado. Pero si estás más interesad@, puedes buscar cómo se hace en el buscador de arriba a la derecha de nuestra web.

Discriminante positivo

Cuando el discriminante es mayor que cero la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. Esto es debido a que en la fórmula de la ecuación de segundo grado se obtienen dos valores distintos (el positivo y el negativo) a partir de la raíz cuadrada.

$\displaystyle x=\cfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ \xrightarrow{\Delta \ > \ 0} \ \begin{cases} x=\cfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \\[4ex] x=\cfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \end{cases}$

Discriminante nulo

Cuando el discriminante es igual a cero la ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones idénticas. Porque la raíz cuadrada queda anulada en la fórmula y, en consecuencia, solo se obtiene un único valor en la fórmula.

$\displaystyle x=\cfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ \xrightarrow{\Delta \ = \ 0} \ x=\cfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}= \cfrac{-b}{2a}$

Pero que solamente se consiga un valor de la fórmula no significa que la ecuación tenga una única solución, sino que la ecuación tiene dos soluciones repetidas, o dicho con otras palabras, tiene una solución doble.

Discriminante negativo

Cuando el discriminante es menor que cero la ecuación de segundo grado no tiene ninguna solución real. Ya que no existe la raíz cuadrada de un número negativo:

$\displaystyle x=\cfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ \xrightarrow{\Delta \ < \ 0} \ \color{red} \bm{\times}$

En realidad, sí que se podrían solucionar este tipo de ecuaciones de segundo grado, pero para poderlo hacer se necesita un conocimiento de matemáticas mucho más avanzado, ya que sus dos soluciones son complejas (o imaginarias).

Propiedades de las soluciones de una ecuación de segundo grado

Las soluciones (o raíces) de cualquier ecuación de segundo grado cumplen una serie de características. A continuación, veremos cuáles son estas propiedades.

La suma de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado es igual al coeficiente del término de primer grado cambiado de signo dividido entre el coeficiente del término cuadrático.

$x_1 + x_2 = \cfrac{-b}{a}$

Donde $x_1$ y $x_2$ son las soluciones de una ecuación de grado 2 $(ax^2+bx+c=0).$

El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado es equivalente a dividir el término independiente entre el coeficiente del término cuadrático.

$x_1 \cdot x_2 = \cfrac{c}{a}$

Donde $x_1$ y $x_2$ son las soluciones de una ecuación cuadrática $(ax^2+bx+c=0).$

Toda ecuación de segundo grado se puede factorizar a partir de sus soluciones de la siguiente manera:

$\begin{array}{c} ax^2+bx+c=0 \\[2ex] \color{red} \bm{\downarrow} \\[2ex] a(x-x_1)(x-x_2) \end{array}$

Donde $x_1$ y $x_2$ son las soluciones de la ecuación de segundo grado.

Es decir, la factorización de una ecuación de segundo grado consiste en transformar su expresión en forma de productos.

Obtener una ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones

Finalmente, vamos a ver cómo se puede calcular la expresión algebraica de una ecuación de segundo grado a partir de sus soluciones.

Si $x_1$ y $x_2$ son soluciones de una ecuación de segundo grado, se puede obtener la expresión de dicha ecuación con la siguiente fórmula:

$\definecolor{blauquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=blauquadreejemplo, boxrule=0.9pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{blauquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle x^2 - (x_1+x_2)x+(x_1\cdot x_2) = 0 \end{empheq}$

Por lo tanto, el coeficiente del término de primer grado de una ecuación de segundo grado es equivalente a sumar las soluciones y cambiar el signo del resultado. Por otro lado, el término independiente es igual a la multiplicación de las 2 soluciones.

A modo de ejemplo, vamos a calcular la ecuación de grado 2 que tiene como soluciones los siguientes valores:

$x_1 = 2 \qquad x_2= 3$