Ecuaciones equivalentes

En este post te explicamos qué son las ecuaciones equivalentes y, además, podrás ver varios ejemplos de ecuaciones equivalentes. También te enseñamos a calcular una ecuación equivalente a otra y, finalmente, te mostramos qué son los sistemas de ecuaciones equivalentes.

¿Qué son las ecuaciones equivalentes?

La definición de ecuaciones equivalentes es la siguiente:

Las ecuaciones equivalentes son aquellas ecuaciones que tienen como solución el mismo valor, es decir, dos ecuaciones son equivalentes si ambas ecuaciones tienen la misma solución.

Ejemplos de ecuaciones equivalentes

Visto el significado de ecuaciones equivalentes, vamos a ver varios ejemplos de este tipo de ecuaciones para acabar de entender el concepto:

• Ejemplo de dos ecuaciones equivalentes de primer grado:

Las siguientes dos ecuaciones lineales son equivalentes porque la solución de ambas es x=5.

• Ejemplo de dos ecuaciones equivalentes de primer grado con paréntesis:

Las siguientes dos ecuaciones de primer grado con paréntesis cumplen el criterio de equivalencia ya que sus soluciones son idénticas.

Si aún no sabes cómo se solucionan las ecuaciones con paréntesis y corchetes, te dejo este enlace donde explicamos paso a paso cómo resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis. Aquí encontrarás la explicación paso a paso, varios ejemplos, y ejercicios resueltos para que puedas practicar.

• Ejemplo de dos ecuaciones equivalentes de segundo grado:

Las siguientes dos ecuaciones de segundo grado (o ecuaciones cuadráticas) son equivalentes porque sus soluciones tienen los mismos valores.

Fíjate que para que las dos ecuaciones se consideren equivalentes deben compartir todas las soluciones, o dicho de otra forma, no es suficiente con que solamente tengan una solución igual.

Cómo obtener ecuaciones equivalentes

Una vez hemos visto qué significa que dos ecuaciones sean equivalentes, vamos a ver cómo se puede hallar una ecuación equivalente a otra.

Para determinar una ecuación equivalente a otra podemos aplicar la regla de la suma y la regla del producto de las ecuaciones.

Por ejemplo, si tenemos la siguiente ecuación de grado 1:

Obtenemos una expresión equivalente si sumamos 3 unidades a ambos lados de la igualdad:

Y sucede exactamente lo mismo si restamos el número 7 a los dos lados de la ecuación:

También se pueden obtener igualdades equivalentes aplicando la regla del producto:

A modo de ejemplo, si tenemos la siguiente ecuación lineal:

Podemos multiplicar ambos miembros de la ecuación por 5 para conseguir otra igualdad equivalente:

Del mismo modo, obtenemos una ecuación con la misma solución si dividimos los dos miembros entre 2:

En definitiva, para obtener una ecuación que cumpla con el criterio de equivalencia debemos aplicar la regla de la suma y del producto.

Sistemas de ecuaciones equivalentes

El criterio para determinar si dos sistemas de ecuaciones diferentes son equivalentes es el mismo que con las ecuaciones:

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Es decir, para que dos sistemas sean equivalentes cada una de sus incógnitas debe tener como solución el mismo valor.

Por lo tanto, dos sistemas de ecuaciones equivalentes pueden tener distinto número de ecuaciones, pero deben tener el mismo número de incógnitas.

Por ejemplo, los siguientes dos sistemas de ecuaciones son equivalentes porque sus soluciones son idénticas:

Fíjate que cada incógnita debe tener como solución el mismo valor, es decir, los dos sistemas no serían equivalentes si la solución del segundo sistema fuera x=3, y=2.

Evidentemente, existen más tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Aquí puedes ver cuáles son todos los tipos de sistemas de ecuaciones según su número de soluciones.