Aquí explicamos cuándo una ecuación no tiene solución y cuándo una ecuación tiene infinitas soluciones. Además, podrás ver ejemplos de estos dos tipos de ecuaciones. Por último, también te mostramos cuándo las ecuaciones de segundo grado y los sistemas de ecuaciones no tienen solución.
Índice
¿Cuándo una ecuación no tiene solución?
Una ecuación no tiene solución cuando en un miembro de la ecuación se obtiene un 0 y en el otro miembro de la ecuación se consigue un número diferente de 0.
Es decir, una ecuación no tiene solución cuando se llega a una expresión de la forma 0=k o k=0 (donde k es un número cualquiera).
Ejemplo de ecuación sin solución real
Para que puedas ver cómo se identifica una ecuación sin solución, vamos a intentar resolver la siguiente ecuación lineal como ejemplo:
Primero de todo, pasamos los términos con x al miembro izquierdo de la ecuación y los términos sin incógnita al miembro derecho de la ecuación:
Ahora agrupamos los términos de los dos lados de la ecuación:
La expresión algebraica que hemos hallado tiene un cero en un lado de la ecuación y un número en el otro lado de la ecuación. Por lo tanto, se trata de una ecuación sin solución.
Las ecuaciones sin solución no poseen un nombre especial, simplemente se llaman ecuaciones sin solución.
Ecuaciones con soluciones infinitas
Otro caso especial de las ecuaciones muy común son las ecuaciones que tienen infinitas soluciones. O dicho de otra forma, ecuaciones que se cumplen por cualquier valor que tome la incógnita de la ecuación.
Una ecuación tienen infinitas soluciones cuando se obtiene la misma expresión algebraica en los dos miembros de la ecuación.
A modo de ejemplo, vamos a intentar calcular la siguiente ecuación:
En primer lugar, resolvemos el paréntesis aplicando la propiedad distributiva:
Ahora ponemos todos los términos con x al lado izquierda de la ecuación y los términos independientes al otro lado de la ecuación:
Por último, sumamos y restamos los elementos de cada lado:
De manera que hemos conseguido la misma expresión en ambos miembros de la ecuación (un 0). En consecuencia, la ecuación tiene infinitas soluciones.
Por otro lado, debes saber que existen otros tipos de ecuaciones que siempre tienen infinitas soluciones, como por ejemplo las ecuaciones lineales con dos incógnitas o las ecuaciones trigonométricas (qué son las ecuaciones trigonométricas?).
Ecuaciones cuadráticas sin solución
Acabamos de ver cómo son las ecuaciones de primer grado sin solución, sin embargo, las ecuaciones de segundo grado (o cuadráticas) a veces tampoco tienen solución.
Una ecuación cuadrática no tiene solución cuando el argumento de la raíz cuadrada de la fórmula es negativo.
Por ejemplo, la siguiente ecuación de segundo no grado no tiene ninguna solución real:
Si intentamos solucionar la ecuación con la fórmula de la ecuación de segundo grado:
![\begin{aligned} x & = \cfrac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \\[2ex] & = \cfrac{-3 \pm\sqrt{9-20}}{2} \\[2ex] & = \cfrac{-3\pm\sqrt{-11}}{2} \ \color{red}\bm{\times} \end{aligned}](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4293fc5d749b5a033dac06abf155e28c_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Hemos obtenido una raíz cuadrada con un número negativo dentro, así que la ecuación cuadrática no tiene solución porque no existen las raíces cuadradas de números negativos.
Por otra parte, también se puede saber que una ecuación de segundo grado no tiene solución calculando su discriminante. Puedes ver cómo se hace haciendo click en este este link, done hemos explicado paso a paso todo el procedimiento.
Como curiosidad, en realidad sí que se pueden resolver este tipo de ecuaciones, pero se necesitan matemáticas más avanzadas porque se trata de ecuaciones con soluciones complejas.
Sistemas de ecuaciones sin solución
Al igual que en una ecuación normal, un sistema de ecuaciones también puede no tener solución.
Un sistema de ecuaciones no se puede solucionar cuando alguna de sus ecuaciones no tiene solución.
Además, un sistema de ecuaciones sin solución se dice que es un Sistema Incompatible (SI). De hecho, los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que tienen, puedes consultar todos los tipos de sistemas de ecuaciones.
