Aquí encontrarás qué es un sistema de ecuaciones compatible determinado. También te explicamos cuándo un sistema es compatible determinado e, incluso, podrás ver un ejemplo donde te mostramos las diferentes maneras de identificar un sistema de este tipo.
Índice
¿Qué es un sistema compatible determinado?
Una sistema compatible determinado es un sistema de ecuaciones que tiene una única solución, es decir, las ecuaciones de un sistema compatible determinado se cumplen para un determinado valor de sus incógnitas.
De hecho, los sistemas de ecuaciones pueden clasificarse según el número de soluciones que tengan: un sistema compatible determinado (SCD) tiene una sola solución, un sistema compatible indeterminado (SCI) tiene infinitas soluciones, y un sistema incompatible (SI) no tiene solución.
¿Cuándo un sistema es compatible determinado?
Una vez hemos visto la definición de un sistema compatible determinado, vamos a analizar cómo se puede saber si un sistema de ecuaciones es compatible determinado o no.
Un sistema de ecuaciones es compatible determinado cuando se cumple alguna de las siguientes condiciones:
- La representación gráfica de las ecuaciones del sistema son dos rectas que se cortan en un único punto (la solución del sistema).
- Si se resuelve numéricamente el sistema se obtiene una única solución.
- Los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales entre sí.
Quizás ahora te parece difícil identificar un sistema compatible determinado, por eso hemos resuelto un ejemplo a continuación para que veas que en realidad es bastante fácil.
Ejemplo de sistema compatible determinado
Para que puedas entender mejor el concepto de sistema de ecuaciones lineales compatible determinado, vamos a resolver el siguiente ejemplo:
![\left. \begin{array}{l} -2x+y=-4 \\[2ex] 2x+3y=12 \end{array} \right\}](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00db36bd3fbba31213dffe77be29434e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Antes de empezar a hacer cálculos, una manera de analizar la compatibilidad del sistema sería comprobando la proporcionalidad de los diferentes coeficientes:
En este caso los coeficientes de las incógnitas x e y no son proporcionales, por lo que se trata de un sistema compatible determinado.
Sin embargo, si queremos hallar la solución del sistema de ecuaciones tenemos que resolverlo y, para ello, debemos utilizar alguno de los 4 métodos posibles (método de sustitución, de reducción, de igualación o gráfico). En este ejercicio usaremos el método de sustitución ya que normalmente es el más fácil.
Por lo tanto, despejamos la variable y de la primera ecuación:
![\left. \begin{array}{l} -2x+y=-4 \\[2ex] 2x+3y=12 \end{array} \right\}\begin{array}{l} \longrightarrow \ y =-4+2x \\[2ex] & \end{array}](https://www.ejerciciosecuaciones.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-103774c4cd46e369d9de0c1531376939_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Luego sustituimos la expresión algebraica obtenida en la segunda ecuación:
Ahora calculamos el valor de la incógnita x resolviendo la ecuación resultante:
Finalmente, sustituimos el valor hallado de x en la primera ecuación y calculamos el valor de la variable y:
De forma que el resultado del sistema de ecuaciones lineales es:
Como solamente hemos conseguido una solución del sistema de ecuaciones, significa que consiste en un sistema compatible determinado.
Por otra parte, también se puede demostrar la compatibilidad del sistema representando gráficamente sus dos ecuaciones:
Las dos rectas representadas en el gráfico se cortan, en consecuencia, se trata de un sistema compatible determinado. Además, las dos rectas se intersecan justo en la solución del sistema de ecuaciones, el punto (3,2).
Sistemas compatibles determinados de 3 o más incógnitas
Acabamos de analizar cómo son los sistemas compatibles determinados con dos ecuaciones y dos incógnitas. Pero, evidentemente, un sistema también puede tener más ecuaciones y más incógnitas. Seguidamente te introduciremos un método que se utiliza para hallar si un sistema con más de 2 variables es compatible determinado o no.
El método más usado para determinar la compatibilidad (o incompatibilidad) de sistemas de grandes dimensiones es el teorema de Rouché-Frobenius, un teorema que sirve para clasificar a todos los tipos de sistemas de ecuaciones calculando el rango de las matrices formadas por sus coeficientes. Pero para poder aplicar este teorema se necesita un nivel de matemáticas más alto.
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